Question

我想对此示例数据集执行转换在一个坐标[primary_system]系统中有四个已知的坐标为x，y，z的点和接下来的四个已知的坐标为x，y，h的点属于另一个坐标系[secondary_system]。那些点对应;例如，primary_system1 point和secondary_system1点完全相同，但我们在两个不同的坐标系中有它的坐标。所以我这里有四对调整点，并希望根据调整将另一个点坐标从主系统转换为二次系统。

primary_system1 = (3531820.440, 1174966.736, 5162268.086)
primary_system2 = (3531746.800, 1175275.159, 5162241.325)
primary_system3 = (3532510.182, 1174373.785, 5161954.920)
primary_system4 = (3532495.968, 1175507.195, 5161685.049)

secondary_system1 = (6089665.610, 3591595.470, 148.810)
secondary_system2 = (6089633.900, 3591912.090, 143.120)
secondary_system3 = (6089088.170, 3590826.470, 166.350)
secondary_system4 = (6088672.490, 3591914.630, 147.440)

#transform this point
x = 3532412.323 
y = 1175511.432
z = 5161677.111<br>

目前我尝试使用四对点中的每一对来平均x，y和z轴的平移，例如：

#x axis
xt1 =  secondary_system1[0] - primary_system1[0]           
xt2 =  secondary_system2[0] - primary_system2[0]
xt3 =  secondary_system3[0] - primary_system3[0]
xt4 =  secondary_system4[0] - primary_system4[0]

xt = (xt1+xt2+xt3+xt4)/4    #averaging

......依此类推y轴和z轴

#y axis
yt1 =  secondary_system1[1] - primary_system1[1]           
yt2 =  secondary_system2[1] - primary_system2[1]
yt3 =  secondary_system3[1] - primary_system3[1]
yt4 =  secondary_system4[1] - primary_system4[1]

yt = (yt1+yt2+yt3+yt4)/4    #averaging

#z axis
zt1 =  secondary_system1[2] - primary_system1[2]           
zt2 =  secondary_system2[2] - primary_system2[2]
zt3 =  secondary_system3[2] - primary_system3[2]
zt4 =  secondary_system4[2] - primary_system4[2]

zt = (zt1+zt2+zt3+zt4)/4    #averaging

所以上面我试图计算每个轴的平均平移向量

Answer 1

如果它只是翻译和旋转，那么这是一种称为affine transformation的转换。

它基本上采用以下形式：

secondary_system = A * primary_system + b

其中A是一个3x3矩阵（因为你是3D），而b是一个3x1的翻译。

这可以等同地写成

secondary_system_coords2 = A2 * primary_system2,

其中

secondary_system_coords2是向量[secondary_system,1]，
primary_system2是向量[primary_system,1]和
A2是4x4矩阵：
```
[   A   b ]
[ 0,0,0,1 ]
```

（有关详情，请参阅维基页面）。

所以基本上，你想要解决这个等式：

y = A2 x

代表A2，其中y由来自secondary_system的点组成，其中1个卡在最后，而x是来自primary_system的点，其中1个卡在上面最后，A2是一个4x4矩阵。

现在，如果x是一个方阵，我们可以解决它：

A2 = y*x^(-1)

但是x是4x1。但是，你很幸运，拥有{em> 4个的x套{4}套y，所以你可以构建一个像{4}这样的x：< / p>

x = [ primary_system1 | primary_system2 | primary_system3 | primary_system4 ]

其中每个primary_systemi是4x1列向量。与y相同。

获得A2后，要将一个点从system1转换为系统2，您只需执行以下操作：

transformed = A2 * point_to_transform

你可以这样设置（例如在numpy中）：

import numpy as np
def solve_affine( p1, p2, p3, p4, s1, s2, s3, s4 ):
    x = np.transpose(np.matrix([p1,p2,p3,p4]))
    y = np.transpose(np.matrix([s1,s2,s3,s4]))
    # add ones on the bottom of x and y
    x = np.vstack((x,[1,1,1,1]))
    y = np.vstack((y,[1,1,1,1]))
    # solve for A2
    A2 = y * x.I
    # return function that takes input x and transforms it
    # don't need to return the 4th row as it is 
    return lambda x: (A2*np.vstack((np.matrix(x).reshape(3,1),1)))[0:3,:]

然后像这样使用它：

transformFn = solve_affine( primary_system1, primary_system2, 
                            primary_system3, primary_system4,
                            secondary_system1, secondary_system2,
                            secondary_system3, secondary_system4 )

# test: transform primary_system1 and we should get secondary_system1
np.matrix(secondary_system1).T - transformFn( primary_system1 )
# np.linalg.norm of above is 0.02555

# transform another point (x,y,z).
transformed = transformFn((x,y,z))

注意：这里当然有数字错误，这可能不是解决转换的最佳方式（你可能能做某种最小二乘的事情）。

此外，将primary_systemx转换为secondary_systemx的错误（对于此示例）为10 ^（ - 2）。

你必须考虑这是否可以接受（它确实看起来很大，但与你的输入点相比，这可能是可以接受的，这些输入点都是10 ^ 6的顺序）。

Answer 2

您要查找的映射似乎是仿射变换。未位于一个平原中的四个3D点是恢复仿射变换所需的确切点数。从广义上讲，后者是矩阵相乘并加上一个向量

secondary_system = A * primary_system + t

现在，该问题减少为找到合适的矩阵A和向量t。我认为，这段代码可能会对您有所帮助（对不起，不好的代码风格-我是数学家，而不是程序员）

import numpy as np
# input data
ins = np.array([[3531820.440, 1174966.736, 5162268.086],
                [3531746.800, 1175275.159, 5162241.325],
                [3532510.182, 1174373.785, 5161954.920],
                [3532495.968, 1175507.195, 5161685.049]]) # <- primary system
out = np.array([[6089665.610, 3591595.470, 148.810],
                [6089633.900, 3591912.090, 143.120],
                [6089088.170, 3590826.470, 166.350],
                [6088672.490, 3591914.630, 147.440]]) # <- secondary system
p = np.array([3532412.323, 1175511.432, 5161677.111]) #<- transform this point
# finding transformation
l = len(ins)
entry = lambda r,d: np.linalg.det(np.delete(np.vstack([r, ins.T, np.ones(l)]), d, axis=0))
M = np.array([[(-1)**i * entry(R, i) for R in out.T] for i in range(l+1)])
A, t = np.hsplit(M[1:].T/(-M[0])[:,None], [l-1])
t = np.transpose(t)[0]
# output transformation
print("Affine transformation matrix:\n", A)
print("Affine transformation translation vector:\n", t)
# unittests
print("TESTING:")
for p, P in zip(np.array(ins), np.array(out)):
  image_p = np.dot(A, p) + t
  result = "[OK]" if np.allclose(image_p, P) else "[ERROR]"
  print(p, " mapped to: ", image_p, " ; expected: ", P, result)
# calculate points
print("CALCULATION:")
P = np.dot(A, p) + t
print(p, " mapped to: ", P)

此代码演示了如何将仿射变换恢复为矩阵+向量，并测试了初始点已映射到其应有的位置。您可以使用Google colab测试此代码，因此无需安装任何程序。

关于此代码背后的理论：它基于“ Beginner's guide to mapping simplexes affinely”中给出的等式，在“规范表示法的恢复”部分描述了矩阵恢复，并在其中讨论了确定精确仿射变换所需的点数。 “我们需要多少点？”部分。同一作者发表了“ Workbook on mapping simplexes affinely”，其中包含许多此类实际示例。

如何使用python执行坐标仿射变换？

2 个答案: