从横截面计算体积

Question

我有一个不规则形状的3d物体。在这个对象中，我以规则的间隔知道交叉区域。如何计算此物体的体积？

Answer 1

您只能估算音量。只需将所有区域相加，然后乘以间隔之间的距离。

显然，间隔之间的距离越小，音量越准确。它只是整合（微积分）。

Answer 2

使用四面体或砖块将其分散并加上它们的体积，采用有限元方法。使用高斯求积和求和积分。

Answer 3

您正在估算黎曼积分。有许多方法可以做到这一点，具有不同的复杂性。 Simpson's rule相当简单，只要横截面积以足够平滑的方式变化，就会非常准确，但是它需要间隔的数量是均匀的。

Answer 4

Ed Heal的答案是一个黎曼和，它接近极限中的（体积）积分。根据横截面相对于对象范围的位置，可以将其视为the midpoint rule的应用。

假设横截面积随距离平滑变化（沿垂直于横截面的轴连续可微分两次），中点规则和梯形规则的精度随着 square 的增加而提高。间隔宽度（这里假设为常规）。平均中点和梯形规则近似相当于辛普森规则的应用，在Peter Milley的答案中概述，具有更高的阶次精度（用间隔宽度的四次幂提高）提供被积函数足够平滑（横截面积相对于距离的连续四阶导数）。

当然，许多真实世界的人物都不会有这样的平滑度（太多的角落，洞等），所以谨慎的做法是不要期望通过制作更复杂的近似值来获得非凡的准确性。