Question

令bi为具有i个节点的二叉树的数量。计算b10。

这是我遇到的问题。

到目前为止我能够提出这些：

B0=1
B1=1
B2=2
B3=5
B4=12

随着我变大，它会很快变得有点过分。

有人能想出一种更好的计算Bi的方法，而不仅仅是绘制树木并计算它们吗？

Answer 1

我在OEIS中输入了你的答案，并得出了一些结果。

一个有希望的结果是A000669 - 具有n片叶子的系列减少的种植树的数量。提供以下示例：a（4）= 5，其中包含以下系列减少的种植树：（oooo），（oo（oo）），（o（ooo）），（o（o（oo））），（（OO）（OO））。也就是说，我们的树木不一定是种植的。

然而，经过一些工作后，我必须告诉你，你对B4的价值是不正确的 - 正确答案是14.然后答案是明确的：the Catalan numbers。加泰罗尼亚语数字计算的内容很奇怪，包括你在这里提出的问题（通过Wolfram）。值得注意的是加泰罗尼亚数字身份（8） - 定义加泰罗尼亚数字的重现。这个求和可以被认为是决定节点左边的节点数（其余节点将在右边）。

更简单的概念化方法是使用Dyck单词。让X表示左括号＆＃39;而Y表示＆＃39; 0＆＃39;。（我使用树的列表表示 - 左边的节点是元素左边的列表，反之亦然;如果节点没有左侧或右侧列表，则认为是叶子。）我们将在适当的位置放入右括号。那么B3的树木如下：

（（（0）0）0）=＆gt; X X X Y Y Y

（（0）0（0））=＆gt; X X Y Y X Y

（0（0（0）））=＆gt; X Y X Y X Y

（（0（0））0）=＆gt; X X Y X Y Y

（0（（0）0））=＆gt; X Y X X Y Y

来自维基百科，这种形式的五个2n长Dyck单词是XXXYYY，XYXXYY，XYXYXY，XXYYXY和XXYXYY。最后，封闭形式

  Bn = (1 / (n + 1)) * (2n choose n) = (2n!)/((n+1)!(n!))

使用i节点计算二叉树的数量

1 个答案: