Question

是否有可能构造一个更高阶函数isAssociative，它接受两个参数的另一个函数并确定该函数是否是关联的？

类似的问题，但对于其他属性，如交换性。

如果这是不可能的，有没有办法以任何语言自动化它？如果有我感兴趣的Agda，Coq或Prolog解决方案。

我可以设想一个强力解决方案，它可以检查每个可能的参数组合，永远不会终止。但在这种情况下，“永不终止”是一种不受欢迎的财产。

Answer 1

我想到的第一个解决方案是使用QuickCheck。

quickCheck $ \(x, y, z) -> f x (f y z) == f (f x y) z
quickCheck $ \(x, y) -> f x y == f y x

其中f是我们正在测试的函数。它不会证明既没有联系也没有交换;这是编写你一直在思考的强力解决方案的最简单方法。 QuickCheck的优势在于它能够选择测试的参数，这有望成为测试代码的极端情况。

您要求的isAssociative可以定义为

isAssociative
  :: (Arbitrary t, Show t, Eq t) => (t -> t -> t) -> IO ()
isAssociative f = quickCheck $ \(x, y, z) -> f x (f y z) == f (f x y) z

它位于IO，因为QuickCheck随机选择测试用例。

Answer 2

我猜Haskell并不适合这类事情。通常你完全相反检查。您声明您的对象具有某些属性，因此可以以某种特殊方式使用（请参阅Data.Foldable）。有时您可能想要推广您的系统：

import Control.Parallel
import Data.Monoid

pmconcat :: Monoid a => [a] -> a
pmconcat [x] = x
pmconcat xs = pmconcat (pairs xs) where
    pairs [] = []
    pairs [x] = [x]
    pairs (x0 : x1 : xs') = y `par` (y : ys) where
        y = x0 `mappend` x1
        ys = pairs xs'

data SomeType

associativeSlowFold = undefined :: SomeType -> SomeType -> SomeType

data SlowFold = SlowFoldId
              | SlowFold { getSlowFold :: SomeType }

instance Monoid SlowFold where
    mempty = SlowFoldId
    SlowFoldId `mappend` x = x
    x `mappend` SlowFoldId = x
    x0 `mappend` x1 = SlowFold y where
        y = (getSlowFold x0) `associativeSlowFold` (getSlowFold x1)
    mconcat = pmconcat

如果您真的想要证明系统，您可能还想查看您提到的那些证明助理。 Prolog - 是逻辑语言，我不认为它也非常适合。但它可能会被用来写一些简单的助手。即应用关联性规则，看到在较低层次上，不可能得出平等。

自动且确定地测试关联性，交换性等功能

2 个答案: