Question

给定实数系数 A 的任何 n x n 矩阵，我们可以定义双线性形式 b < sub> A ： R ⁿ x R ⁿ→ R by

b _A（ x ， y ）= x ^T Ay ，

和二次形式 q _A： R ⁿ→ R by

q _A（ x ）= b _A（ x ， x ）= x ^T Ax 。

（对于二次型 q _A 的大多数常见应用，矩阵 A 是对称的，甚至是对称的正定，所以请放心假设其中任何一个都是这种情况，如果它对你的答案很重要。）

（另外，FWIW， b _I 和 q _I （其中 I n x n 单位矩阵）分别是标准内积，平方 L ² R ⁿ 上的-norm，即 x ^T y 和 x ^Ť X 。）

现在假设我有两个 n x m 矩阵， X 和 Y ，以及 n x n 矩阵 A 。我想优化 b _A的计算（ x _，i ， y _，i ）和 q _A（ x _，我 ）（其中 x _，i 和 y _，i 表示分别是 X 和 Y 的 i - 列，我推测，至少在某些环境中，比如numpy，R或Matlab，这将涉及某种形式的矢量化。

我能想到的唯一解决方案是需要生成对角线块矩阵[ X ]，[ Y ]和[ A ] mn x m ， mn x m 和 mn x mn ，分别和（块）对角元素 x _，i ， y _，i ，和 A 分别。然后所需的计算将是矩阵乘法[ X ] ^T [ A ] [ Y ]和[< EM> X ^Ť [ A ] [ X ]。这种策略绝对没有灵感，但如果有办法在时间和空间方面都很有效，我希望看到它。（毫无疑问，任何不利用这些块矩阵的稀疏性的实现都将注定失败。）

有更好的方法吗？

我对系统这样做的偏好是numpy，但是对于支持高效矩阵计算的其他系统（如R或Matlab）而言，答案也可以（假设我可以弄清楚如何将它们移植到numpy））。

谢谢！

<子> 当然，计算产品 X ^T AY 和 X ^T AX 会计算出所需的 b < / em> _A（ x _，i ， y _，i ）和 q _A（ x _，i ）（如得到的 m x m 矩阵的对角元素），以及 O （ m ²）无关 b _A（ x _，i ， y _，j ）和 b _A（ x _，i ， x _，j ），（ i ≠ j ），所以这是一个非首发。

Answer 1

这是一个numpy解决方案，可以为您提供所需的内容：

((np.matrix(X).T*np.matrix(A)).A * Y.T.A).sum(1)

这对X ^T * A进行矩阵乘法，然后将逐个元素的数组乘法乘以Y ^T。然后将得到的数组的行相加以产生1-D数组。

Answer 2

目前还不完全清楚您要实现的目标，但在R中，您使用crossprod来形成交叉产品：给定矩阵X和Y具有兼容尺寸，{ {1}}返回X ^T Y.同样，使用crossprod(X, Y)运算符实现矩阵乘法：%*%返回乘积XY。所以你可以得到X ^T AY为X %*% Y，而不必担心矩阵乘法，循环或其他什么的机制。

如果您的矩阵具有允许优化计算的特定结构（对称，三角形，稀疏，带状，......），您可以查看crossprod(X, A %*% Y)包，它对此有一些支持。

我没有使用过Matlab，但我确信它会为这些操作提供类似的功能。

Answer 3

如果你想在MATLAB中这样做，那真的很简单：

您只需输入

即可

b = x'*A*y;
q = x'*A*x;

我怀疑是否值得付出努力，但如果你想加快速度，你可以试试这个：

M = x'*A;
b = M*y;
q = M*x;

如何对双线性和双线性的评估进行矢量化二次形式？

3 个答案: