所有对都采用动态编程的最短路径

Question

所有

我正在阅读所有对最短路径和矩阵乘法之间的关系。

  

考虑加权邻接矩阵的乘法   本身 - 除了在这种情况下，我们替换乘法运算   通过加法进行矩阵乘法，以及加法运算   最小化。注意加权邻接矩阵的乘积   with本身返回一个包含长度为2的最短路径的矩阵   在任何一对节点之间。

从这个论证得出，A到幂的幂包含所有最短路径。

问题1：

我的问题是，在一个图中，我们将在路径中的两个节点之间最多有n-1条边，作者在什么基础上讨论长度为“n”的路径？

以下幻灯片

www.infosun.fim.uni-passau.de/br/lehrstuhl/.../Westerheide2.PPT

在幻灯片10中，如下所述。

dij(1) = cij

dij(m) = min (dij(m-1), min1≤k≤n {dik(m-1) + ckj}) --> Eq 1
       = min1≤k≤n {dik(m-1) + ckj} ------------------> Eq 2

问题2：作者如何从方程1中得出方程2。

在Cormen等人关于算法介绍的书中，提到如下：

实际的最短路径权重delta（i，j）是多少？如果图形不包含负权重循环，则所有最短路径都很简单，因此最多包含n - 1条边。从顶点i到具有多于n-1个边的j的顶点j的路径的权重不能小于从i到j的最短路径。因此，实际的最短路径权重由

给出

delta（i，j）= d（i，j）功率（n-1）=（i，j）功率（n）=（i，j）功率（n + 1）= ...

问题3：在上面的等式中，作者如何得到n，n + 1个边缘，因为我们最多有n-1个，以及上面的分配是如何工作的？

谢谢！

Answer 1

1. n vs n-1只是一个不幸的变量名称选择。他应该使用不同的字母来表达清楚。

   A^1 has the shortest paths of length up to 1 (trivially)
   A^2 has the shortest paths of length up to 2
   A^k has the shortest paths of length up to k
   

2. 等式2并非直接来自Eq1。方程2只是第一个方程的第二项。我认为这是格式化或复制粘贴错误（我无法检查 - 您的ppt链接已损坏）

3. 作者只是明确指出通过向路径添加更多n-1个边缘而无法获得任何好处：

   A^(n-1),            //the shortest paths of length up tp (n-1)
   is equal to A^n     //the shortest paths of length up tp (n)
   is equal to A^(n+1) //the shortest paths of length up tp (n+1)
   ...
   

   这样您就可以安全地停止计算（n-1），并确保所有长度的所有路径中的最小路径。 （这有点显而易见，但教科书在这里有严格意义......）

Answer 2

  

在图中，我们将在路径中的两个节点之间有至多n-1条边，作者在什么基础上讨论长度为“n”的路径？

您对所讨论的多项措施感到困惑：

• A ^ n 表示顶点之间 n 的“最短路径”（按重量计算）。
• “最多 n-1 两个节点之间的边缘” - 我假设在这种情况下，您将 n 视为图形的大小。

图形可能有数百个顶点，但您的邻接矩阵 A ^ 3 显示长度为3的最短路径。不同的 n 度量。