使用mathematica中的实际函数

Question

通常，mathematica总是假设最常见的情况，即，如果我设置了一个函数

a[s_]:={a1[s],a2[s],a3[s]}

并且想要计算其范数Norm[a[s]]，例如，它将返回：

Sqrt[Abs[a1[s]]^2 + Abs[a2[s]]^2 + Abs[a3[s]]^2]

但是，如果我知道所有ai[s]都是真的，我可以调用：

Assuming[{a1[s], a2[s], a3[s]} \[Element] Reals, Simplify[Norm[a[s]]]]

将返回：

Sqrt[a1[s]^2 + a2[s]^2 + a3[s]^2]

这是我的期望。

例如，尝试导出a[s]然后（注意D）时出现问题：

Assuming[{a1[s], a2[s], a3[s]} \[Element] Reals, Simplify[Norm[D[a[s],s]]]]

再次返回涉及绝对值的结果 - 来自假设数字可能是虚数。

克服这个问题的方法是什么？我想定义一个实值函数，并使用它。也就是说，例如，我希望它的衍生物是真实的。

Answer 1

我会改用自定义函数，例如

vecNorm[vec_?VectorQ] := Sqrt[ vec.vec ]

然后

In[20]:= vecNorm[D[{a1[s], a2[s], a3[s]}, s]]

Out[20]= Sqrt[
Derivative[1][a1][s]^2 + Derivative[1][a2][s]^2 + 
 Derivative[1][a3][s]^2]

Answer 2

警告：我对此没有多少实际经验，所以下面的例子没有经过全面测试（即我不知道是否有太多一般的假设可以打破我没想过的任何事情的）。

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您可以使用$Assumptions来定义永久性假设：

我们可以说所有a1[s], a2[s], a3[s]都是实物：

$Assumptions = {(a1[s] | a2[s] | a3[s]) \[Element] Reals}

但如果你有例如a1[x]（不是a1[s]），那么它将无效。所以我们可以使用模式对其进行一些改进：

$Assumptions = {(a1[_] | a2[_] | a3[_]) \[Element] Reals}

或者只是说a[_]的所有值都是真实的：

$Assumptions = {a[_] \[Element] Reals}

甚至大胆地说一切都是真实的：

$Assumptions = {_ \[Element] Reals}

（我不知道这会破坏什么）

AppendTo对于添加$Assumptions并保留以前的假设非常有用。

与Assuming一样，此功能仅适用于Simplify或Integrate等具有Assumtpions选项的功能。 D不是这样的功能。

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Reduce，FindInstance等某些函数可以选择仅在Reals，Integers等域上工作，这些函数假定它们使用的所有表达式和子表达式都是真实的。

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ComplexExpand[]，有时FunctionExpand[]在类似情况下也可能有用（但不是真的在这里）。示例：ComplexExpand[Abs[z]^2, TargetFunctions -> {Sign}]和FunctionExpand[Abs'[x], Assumptions -> {x \[Element] Reals}]。

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一般，据我所知，没有数学方式告诉Mathematica变量是真的。只能使用模式以正式方式执行此操作，并且仅对具有Assumptions选项的某些函数执行此操作。 “正式”是指如果你告诉它a[x]是真实的，它将不会自动知道a'[x]也是真实的。

Answer 3

在这种情况下，您可以使用ComplexExpand，但需要解决方法。例如

ComplexExpand[Norm[a'[s], t]] /. t -> 2

返回

Sqrt[Derivative[1][a1][s]^2 + Derivative[1][a2][s]^2 + Derivative[1][a3][s]^2]

请注意，执行类似ComplexExpand[Norm[a'[s], 2]]（或ComplexExpand[Norm[a'[s], p]] p其中{{1}}为理性数字）的内容由于某种原因无效。

Answer 4

对于较旧的Mathematica版本，曾经有一个附加软件包RealOnly，它将Mathematica置于仅实数模式。在更高版本和online中提供了一个版本，其兼容性升级最少。它将许多情况简化为纯粹的解决方案，但不适用于Norm案例：