在彩色边缘图中找到最短的有效路径

Question

给定有向图G，边缘颜色为绿色或紫色，G中有顶点S，我必须找到一个算法，找到从 G到s到每个顶点的最短路径，这样路径最多包含两个紫色边缘（和所需的绿色一样）。

在删除所有紫色边缘之后我想到了G上的BFS，并且对于最短路径仍然无穷大的每个顶点，做一些尝试找到它的东西，但是我有点卡住，并且它需要很多运行时间也是......

还有其他建议吗？

提前致谢

Answer 1

复制你的图形，所以你有G ₁ ，G ₂ ，G ₃ ，你可以在每个图中重定向紫边，如下所示：if（u ₁ ，v ₁ ）是G ₁ 中的紫色边缘，然后将其更改为（u ₁ ，v ₂ ）。

即。你有三个图表，每次你采取紫色边缘它会移动到下一个图形，而在G ₃ 上没有紫色边缘。该构造将紫色限制构建到结构中，然后自动强制执行。

现在您可以像往常一样找到从s到所有节点的最短路径。根据结果​​，您必须选择从s到u ₁ ，u ₂ ，u ₃ 的每条路径之间的缩短时间。

总而言之，构造需要线性时间，并且新图形尺寸比原始尺寸大O（1）倍，因此APSP需要相同的时间，并且最终运行以确定找到的三条路径中的哪一条最短是也是线性的。

Answer 2

每个顶点需要三条最短路径：具有0,1和2条紫色边的路径。在算法中，您需要在每个顶点存储三个不同的路径长度。当您考虑具有k个紫色边缘和边s-t的{​​{1}}路径时，如果边缘为绿色，则潜在t-u路径具有k个紫色边缘，如果s-t-u路径比具有k个紫色边缘的其他s-t-u路径短，您将其长度存储在顶点s-u的插槽k处。或者，如果u边是紫色，则使用顶点t-u的插槽k + 1。你可以自己解决剩下的事吗？

Answer 3

请注意，与您的n个顶点相似的图表中没有循环的任何路径最多只能n-1。

将长度n分配给每个紫色边缘，其中n是顶点数。找到从S到每个其他顶点的最短路径，例如，使用Dijkstra算法。

现在，检查路径长度：

1. 如果路径长度小于n，那么您的路径只有绿色边缘，因为即使一条紫色边缘也会增加路径长度超过n-1;
2. 如果路径长度在[n, 2n)内，则您只有一条紫色边，因为两条或更多条紫色边将增加2n-1以上的路径长度;
3. 如果路径长度在[2n, 3n)内，那么您只有两条紫色边，因为三条或更多条紫色边将增加3n-1以上的路径长度;
4. 否则不存在最多两条紫色边缘的路径。