Question

我有一个函数f(t)=2/(2-t)。如果不使用Mathematica，在t = 0（即2^(-r)*r!）得到第r个导数并不是那么困难。在Mathematica计算的情况下，我可以得到r = 4时的r次导数，如下所示：D[2/(2-t), {t, 4}]。但是当r是任意整数时，如何在Mathematica中获得t = 0的rth导数？我试图使用这个表达式，但它没有按预期工作：

Simplify[D[2/(2 - t), {t, r}], Assumptions -> Element[r, Integers]]  /. {t->0}

是否有可能像人类一样在Mathematica中象征性地进行上述数学运算？

Answer 1

对于分析函数，您可以使用SeriesCoefficient。

nthDeriv[f_, x_, n_] := n!*SeriesCoefficient[f[x], {x, x, n}]

你的例子：

f[t_] := 2/(t - 2)

nthDeriv[f, t, n]
(*
-> Out[39]= n!*Piecewise[{{-2*(2 - t)^(-1 - n), n >= 0}}, 0]
*)

Answer 2

f = FindSequenceFunction[Table[D[2/(2 - t), {t, n}], {n, 1, 5}], r]

(*
-> -((2 (2 - t)^-r Pochhammer[1, r])/(-2 + t))
*)
g[r_, t_] := f
FullSimplify@FindSequenceFunction[Table[g[r, t], {r, 1, 5}] /. t -> 0]

 (*
 -> 2^-#1 Pochhammer[1, #1] &
 *)

修改

或者只是

FindSequenceFunction[Table[D[2/(2 - t), {t, n}], {n, 1, 5}], r] /. t -> 0 (* -> 2^-r Pochhammer[1, r] *)

* 编辑*

注意：虽然FindSequenceFunction[]适用于这种简单的情况，但在更一般的情况下不要赌它。

修改

要获得以阶乘函数表示的结果，请执行以下操作：

FunctionExpand@FindSequenceFunction[Table[D[2/(2-t),{t, n}],{n,1,5}], r] /.t->0 (* -> 2^-r Gamma[1 + r] *)

Answer 3

还有另一种方法有时效果更好（给出封闭形式的表达式而不是递归关系）：

In[1]:= InverseFourierTransform[(-I k)^n FourierTransform[1/(1 + x^2)^Log[2], x, k] , k, x]
Out[1]= (2^(-1 + n - 1/2 Log[1/x^2])
      Abs[x]^-Log[2] ((-I)^
      n ((1 + n) x Gamma[(1 + n)/2] Gamma[
      n/2 + Log[2]] Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, n/2 + Log[2], 1/
      2, -x^2] (n + Log[4]) - 
    2 I Gamma[1 + n/2] Gamma[
      1/2 (1 + n + Log[4])] ((1 + x^2) Hypergeometric2F1[(2 + n)/
         2, 1/2 (1 + n + Log[4]), -(1/2), -x^2] - 
       Hypergeometric2F1[(2 + n)/2, 1/2 (1 + n + Log[4]), 1/
         2, -x^2] (1 + x^2 (3 + 2 n + Log[4])))) + 
 I^n ((1 + n) x Gamma[(1 + n)/2] Gamma[
      n/2 + Log[2]] Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, n/2 + Log[2], 1/
      2, -x^2] (n + Log[4]) + 
    2 I Gamma[1 + n/2] Gamma[
      1/2 (1 + n + Log[4])] ((1 + x^2) Hypergeometric2F1[(2 + n)/
         2, 1/2 (1 + n + Log[4]), -(1/2), -x^2] - 
       Hypergeometric2F1[(2 + n)/2, 1/2 (1 + n + Log[4]), 1/
         2, -x^2] (1 + x^2 (3 + 2 n + Log[4]))))))/((1 + n) 
       Sqrt[Pi] x Gamma[Log[2]] (n + Log[4]))

它也可用于发现重复的反衍生物。

Answer 4

其他答案让我想知道我是否不理解基本问题，但我认为你应该考虑Derivative而不是D这类事情。

In[1]:= Remove[f, fD]
f = 2/(2 - #) &;
fD[r_Integer, EvaluatedAt_] := Derivative[r][f][#] &[EvaluatedAt]

现在我们有一个可以轻松评估任何r和值的函数。

In[4]:= fD[#, 0] & /@ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Out[4]= {1/2, 1/2, 3/4, 3/2, 15/4, 45/4}

当r在Mathematica中具有象征意义时，如何找到函数的导数？

4 个答案: