特定字符串的排列数可以被数字整除

Question

假设我有一个10位数的 multiset ，例如S = { 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 8, 9 }。有没有除暴力之外的任何方法来查找S元素的不同排列的数量，这样当排列被视为十位整数时，它可被特定数字n整除？ n将在1到10000范围内。

例如：

如果S = { 1, 2, 3, 4, 6, 1, 2, 3, 4, 6 }和n = 10，则结果为0（因为这10个数字的排列不会给出可被10整除的数字）

如果S = { 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 2}和n = 2，则结果为9! / 2^4（因为我们最后必须有2，所以有9!种方式来置换其他元素，但有四对相同的元素）

Answer 1

您可以像这样修剪搜索：找到NUM的素数因子分解。显然可以被NUM整除，排列需要被NUM的所有素因子整除。因此，您可以使用 simple divisibility rules 来避免产生许多无效的候选人。

Answer 2

我有一些想法，但它没有组织成一个实际的算法。

对于N = 2，我们只看到我们可以在排列结束时放多少个偶数并计算出那个数字。

对于N = 3，我们知道数字的总和必须可以被3整除。这意味着我们可以在我们的排列中自由地输入任何3s，6s，9s和0s，但是我们必须放置任何其他数字成对的总和为3,6或9（或1的三联体）。我认为这不会太难实现。

对于N = 4，我们可以做类似于N = 2的事情。

我认为我们可以提出这样的情况，最多N = 10（N = 7可能很棘手）。然后，我们可以做任何N＆gt; 10通过考虑它。例如，如果N = 18，那么可以被N整除的任何和所有排列也可以被2和9整除。当然，如果N是素数，我们可能会遇到麻烦。

Answer 3

我的想法：对S的数字进行排序增加和减少。现在你有了从S生成的最小值和最大值。现在在min，max区间中取N的所有倍数，看看它们由S中的数字形成。