计算由2条贝塞尔曲线定义的曲面的边缘点？

Question

鉴于6个点定义了2个二次贝塞尔曲线，如何计算两条曲线的切线相同的点？

当切线重合时，切线之间的距离变小，最终达到0。如何在不循环一百次并检查每个部件的情况下计算出来？有这个数学解决方案吗？

Answer 1

方便的维基百科甚至会显示由P_0，P_1，P_2定义的quadratic Bezier curve的渐变，因此我们甚至不需要计算它。

因此，如果我们有2条由B_1（t）和B_2（t）定义的曲线，并且我们想要知道曲线B_2（t）中具有与例如B_1（0.5）相同的切线的位置。我们只需找到t，使得B_1'（0.5）= B_2'（t）。由于梯度是线性方程，因此解决这种平等应该是微不足道的。

编辑：这是一个很酷的问题，我不得不写一些代码：）

考虑这个数字：

B = @(t,p0,p1,p2)((1-t)*((1-t)*p0 + t*p1) + t*((1-t)*p1 + t*p2)) 
C = @(t,p0,p1,p2)(2*(1-t)*(p1-p0) + 2*t*(p2-p1));

p0 = [1;2];
p1 = [3;5];
p2 = [6;-1];
X = [];
for t=0:0.05:1
    X = [X B(t,p0,p1,p2)];
end

q0 = [2;0];
q1 = [4;7];
q2 = [5;0];
Y = [];
for t=0:0.05:1
    Y = [Y B(t,q0,q1,q2)];
end

figure(1)
clf;
hold on;
plot([p0(1) p1(1) p2(1)], [p0(2) p1(2) p2(2)], 'ro:')
plot(X(1,:), X(2,:), 'g-');

plot([q0(1) q1(1) q2(1)], [q0(2) q1(2) q2(2)], 'bo:')
plot(Y(1,:), Y(2,:), 'm-');

% Consider: t = 0.2
% Note: B(0.2,p0,p1,p2) = [1.84; 2.84]
%       C(0.2,p0,p1,p2) = [4.4; 2.4]
%
% 2*(1-t)*([4;7] - [2;0]) + 2*t*([5;0]-[4;7]) = [4-2*t; 14-28*t]
% (4-2*t)/(14-28*t) = 4.4/2.4
% 9.6 - 4.8t = 61.6 - 123.2t
% 118.4t - 52 = 0
% t = 0.439
%
% B(0.439,q0,q1,q2) = [3.56; 3.45]

plot([1.84, 3.56], [2.84, 3.45], 'ks--')

这是matlab代码，我希望它有点清楚，如果你不使用matlab，请注意列向量表示为[a; b; c; d; ...]。所以我用点p0，p1，p2和q0，q1，q2定义2条曲线，然后创建一个函数来计算Bezier（B）和梯度（C）。然后我绘制曲线并考虑t = 0.2处的切线，我希望剩下的数学是清楚的，但是如果没有则只问一个问题。

另外，请注意我们并没有像我原先说的那样解决渐变问题！相反，我们需要求解具有相同x / y比率的梯度。如果没有解决方案，那么没有切线相等的地方。

Answer 2

二次贝塞尔曲线P和Q

P（t）= P0 *（1-t）^ 2 + 2 * P1 *（1-t）* t + P2 * t ^ 2 = t ^ 2 *（P0-2 * P1 + P2）+ 2 * T *（P1-P0）+ P0

Q（t）= Q0 *（1-u）^ 2 + 2 * Q1 *（1-u）* u + Q2 * u ^ 2 = u ^ 2 *（Q0-2 * Q1 + Q2）+ 2 * T *（Q1-Q0）+ Q0

n阶Bezier曲线的导数是具有控制点的（n-1）阶曲线 二= N（P（i + 1的）-Pi）

D0 = 2（P1-P0）D1 = 2（P2-P1）

D = D0 *（1-t）+ D1 * t = 2 * t *（P2-2 * P1 + P0）+ 2 *（P1-P0） - 现在我们在参数t <的点处切线/ p>

标量形式：

Dx = 2 * t *（P2x-2P1x + P0x）+2（P1x-P0x）

的Dy = 2 * T *（受体P2y-2P1y + P0y）2（P1Y-P0y）

对于第二条曲线

例如= 2 * U *（Q2x-QP1x + Q0x）2（Q1x-Q0x）

安永= 2 * U *（Q2Y-QP1y + Q0y）2（Q1y-Q0y）

矢量平行的条件：

DX EY-镝用Ex = 0

P曲线的导数矢量触及Q曲线上对应点的条件

载体积（Q（u）-P（t））×D（t）= 0

现在我们有两个未知数的方程式 - t和u。

设PAx = P2x-2P1x + P0x，PBx = P1x-P0x，PAy，PBy，QAx，QAy，QBx，QBy的相同符号

现在方程系统是：

（T PAX + PBX）（U QAy + QBY） - （叔支付+ PBY）（U 卡希+ QBX）= 0

（u ^ 2 * QAx + 2 * u * QBx + Q0x-t ^ 2 * PAx-2 * t PBx-P0x）（t * PAy + PBy） - （u ^ 2 * QAy + 2 * U * QBY + Q0y叔^ 2 *付费2 * T PBY-P0y）（T * PAX + PBX）= 0

Maple用这样的结果解决了这个系统：

t = RootOf（（PAx ^ 2 * PBy QAy + PBx PAy ^ 2 * QAx-PAx PBy PAy QAx-PBx PAy PAX QAy）* _ Z 2 3 +

（ - 2 * PAX QBY 支付 QBX + PBX 支付 PBY 卡希+ PAX PBY PBX QAy + Q0x 支付 PAX QAy-PAX * PBY ^ 2 *卡希-PBX ^ 2 *支付 QAy + P0X 支付^ 2 *卡希-P0y < EM> PAX 支付卡希-Q0y PAX ^ 2 * QAy + P0y * PAX ^ 2 * QAy +支付^ 2 * QBX ^ 2-P0X 支付 PAX QAy + Q0y PAX 支付卡希+ PAX ^ 2 * ^ QBY 2- Q0x *支付^ 2 *卡希）* _ Z 2 2 +

（Q0y PBX 支付卡希+ Q0x PBY PAX QAy + Q0y PAX PBY *卡希+ 2 * PAX * QBY ^ 2 * PBX + 2 * *支付QBX ^ 2 * PBY-2 * PAX QBY PBY * QBX-2 * PBX QBY 支付 QBx- P0y PAX PBY 卡希-P0y PBX 交*卡希-2 * Q0x 支付 PBY *卡希+ 2 * P0y PAX PBX QAy-P0X 支付 PBX QAy + 2 * P0X 支付 PBY 卡希-P0X PBY PAX QAy-2 * Q0y PAX PBX QAy + Q0x 支付 PBX QAy）* _ž -

P0y PBX PBY 卡希-Q0x PBY ^ 2 *卡希-Q0y * PBX ^ 2 * QAy + P0y * PBX ^ 2 * QAy + P0X * PBY ^ 2 *卡希-2 * PBX QBY PBY * QBX + PBX ^ 2 * QBY ^ 2 + PBY ^ 2 * QBX ^ 2 + Q0y PBX PBY 卡希+ Q0x PBY PBX QAy-P0X PBY PBX * QAy）

该公式表示t是具有这些奇怪系数的三次方程的根。 Cubic是可以解决的。如果在范围[0..1]中存在t的实际值，那么我们可以计算并检查相同的范围。 当然，这是一个相当复杂的方法，我的计算可能包含错误和拼写错误

增加：3个实心立方根（和3个切线）的情况是可能的：