树的分治算法

Question

我正在努力写出一个分歧＆amp;征服树木的算法。对于除法步骤，我需要一种算法，通过删除节点，将给定的无向图G =（V，E）与n个节点和m个边分割成子树。所有子图应具有不包含 n / 2 节点的属性（树应尽可能分割）。首先，我尝试以递归方式从树中删除所有叶子以找到最后剩余的节点，然后我尝试在G中找到最长的路径并删除它的中间节点。下面给出的图表显示两种方法都不起作用：

是否有一些工作算法能够满足我的需求（在上述情况下返回节点H）。

Answer 1

我认为你可以用这样的算法来做到这一点：

从根开始（如果树没有root，请选择任何节点） 在每个步骤中，尝试下降到具有最大子树的子节点（节点数“低于”它是最大的）。
如果这样做会使节点“高于”大于n / 2，则停止，否则继续该子节点。

如果树是合理平衡的，并且我们具有为每个节点预先计算的子树大小，则该算法应为O（log n）。如果其中一个条件不适用，则为O（n）。

Answer 2

一个精确的算法就是这样，

从叶子开始并创建不相交的图形（实际上所有都是K1），在每个步骤中找到这个叶子的父级，并在节点x具有{{1}的每个步骤中将它们合并到新树中已知子节点和节点度r，j，只是一个不在j = r+1子节点中的节点是当前节点的父节点，在这种情况下我们说节点{{1} }}是x，否则，有一些孩子没有构造相关的根子树，在这种情况下我们说节点x是nice。

因此，在每个步骤中将x个节点连接到它们的相关父节点，显然每个步骤都需要bad，每个步骤中至少有一个漂亮的节点（因为你从叶子开始），所以算法是O（n），它将完全完成，但是为了找到应该删除的节点，实际上每个步骤都需要检查一个dijoint列表（子树列表）的大小，这可以在O中完成（ 1）在构造中，如果列表的大小等于或大于n / 2，则选择相关的nice节点。 （实际上在最小列表中找到满足此条件的nice节点。）

显而易见的是，如果可以以良好的方式划分树（每个部分最多有n / 2个节点）你可以通过这个算法完成它，但如果不是这样的话（实际上你不能将它分成两个或者更多的部分尺寸小于n / 2）这给你很好的近似。另外您可以看到输入树中没有假设。

注意：我不知道是否有树可以通过删除一个节点将其分割成一些小于n / 2的部分。

Answer 3

此问题与查找对象的center of mass类似。 假设您的每个节点都是等质量（重量）的点质量，其位置由图中的位置给出。您的算法尝试查找质心，即在所有连接的子树中具有类似累积节点权重的节点。

您可以计算每个节点的所有子树的累计权重。然后选择最平衡的那个，s.t。没有子树的重量超过n/2。可能这是一些动态编程的任务。

Answer 4

这是我使用和测试过的一种方法。

首先，通过找到树的根，可以创建一个包含所有节点的集合，然后创建另一个数组NeighboursNumber []，其中每个节点的邻居数均存储了相应的索引。 然后遍历该集合并消除叶子（节点i具有NeighboursNumber [i] == 1），确保将这些节点添加到另一个集合RemovedSet中（以避免更新问题），然后在每次迭代之后遍历RemovedSet并减少集合中每个元素的所有邻居的NeighboursNumber []条目。 最后，您将拥有根节点。 （确保您实现的情况是剩下2个节点和1个邻居）。 找到根之后，我们继续找到每个子树的大小。这里的技巧是在寻找根的同时执行此操作：在第一次迭代中消除叶子之前，请先创建一个数组SubTreeSize []，然后每次从集合中删除一个节点时，都要将该节点的值+ 1到父级的值：SubTreeSize [parent] = SubTreeSize [parent] + SubTreeSize [removedNode] +1; 这样，当我们找到根时，我们还具有每个子树的大小。 然后，我们从根开始，检查每个邻居的子树大小+ 1>节点/ 2，如果是，则选择该节点并重新开始。当所有子节点的大小均为<= nodes / 2时，中断循环并输出该节点。

对于具有10 ^ 5个节点的树，此方法花费的时间不到一秒钟。