最大化人与人之间的互动

Question

有圆桌会议。并且有n个人，其中一些人是彼此的朋友。 如果他是朋友，坐在桌子上的人可以与邻近的人互动。

我们必须找到一种算法来安排n个人在桌子上，以便最大化整体互动。

Answer 1

此问题可以缩小为Travelling salesman problem。

将每个人视为graph中的节点。在朋友之间移动的成本是0，非朋友之间的移动成本是1.现在的任务是找到成本最低的Hamiltonian cycle。这是NP-hard问题。

greedy algorithm是先将朋友放在最少的人身上，然后尝试将他的两个朋友放在他旁边（如果他有两个以上的朋友，请选择那两个朋友，他们自己的朋友最少） 。继续这样做，如果可能的话，将朋友放在朋友旁边，直到每个人都被安置。这不能保证找到最佳解决方案，但计算速度非常快。

Answer 2

标记，“等效”表示您已将问题A减少到问题B 并从问题B减少到问题A.您已将此问题减少为（非度量标准） ）TSP，它告诉我们TSP至少和这个问题一样难。

当且仅当朋友图表具有汉密尔顿循环时，所有人都可以同时坐在朋友旁边，所以这个问题实际上是NP难的。

Mark的减少意味着我们可以使用O（n ² 2 ⁿ ） - TSP的时间动态程序来解决这个问题。让x成为桌上最年长的人。 DP计算，对于不包括x的每个非空集S和S中每个可能的人y，最好的解决方案是S - {y}中的人坐在从x到y的逆时针弧上。

Answer 3

我们可以使用拱门来表示友谊，并且可以用在图中找到闭合路径，触及所有人的问题来代替最大化交互的问题。所有拱门都具有相同的重量，例如1。

如果不可能，我们必须找到触及最大人数的路径，然后从其余人员开始。