无向图转换为树

Question

给定一个undirected graph，其中每个节点在空间中具有一般树形状的笛卡尔坐标，是否有算法将图形转换为树，并找到合适的根节点？

请注意，我们对“树”的定义要求分支在锐角处不会偏离父节点。

请参阅下面的示例图表。我们如何找到红色节点？

Answer 1

这是一个关于如何解决问题的建议。

先决条件

• 表示法：
  
  • g图表，g.v图顶点
  • v,w,z：个别顶点
  • e：个人优势
  • n：顶点数
• 无向树g和给定节点g.v的任何组合唯一地确定具有根g.v的有向树（可通过归纳证明）

主意

• 通过g隐含的有向树中的方向补充g的边缘，并通过g节点处的本地计算补充尚未找到的根节点。 / LI>
• 这些方向将代表节点之间的子父级关系（v -> w：v子级，w父级。
• 完全标记的树将包含一个具有outdegree 0的唯一节点，这是所需的根节点。最终可能会有0个或多个根节点。

算法

假设图形/树结构的标准表示（例如邻接列表）

1. g.v中的所有顶点最初都标记为未访问，未完成。

2. 以任意顺序访问所有顶点。跳过标记为“已完成”的节点 让v成为当前访问的顶点。

   • 2.1扫描顺时针连接v的所有边缘，从边缘角度e_0的随机选择的e_0开始。

   • 2.2。定向相邻边e_1=(v,w_1), e_2(v,w_2)，包围锐角 相邻：wrt根据它们与e_0包围的角度进行排序。

     [注意：不保证存在这样的一对，见第2条评论和最后评论。如果没有锐角，请在2.下一个节点处继续。 ]

     • 2.2.1已知边e_1, e_2的方向：

       • w_1 -> v -> w_2：不可能，因为祖父母 - 儿童片段会包含锐角
       • w_1 <- v <- w_2：不可能，同样的原因

       • w_1 <- v -> w_2：不可能，树中没有outdegree＆gt; 1的节点

       • w_1 -> v <- w_2：
         只有可能的一对方向。 e_1, e_2之前可能已被定位。如果先前的方向违反了当前的分配，则问题实例没有解决方案。

     • 2.2.2此赋值意味着子图上的树结构由w_1（w_2）在不包含e_1 ( e_2`的路径上可到达的所有顶点引起。将两个诱导子树中的所有顶点标记为已完成

       [注意：子树结构可能违反了角度约束。在这种情况下，问题没有解决方案。 ]

   • 2.3标记v已访问过。在顶点v完成步骤2.2后，检查连接尚未指定方向的边的数量nc。

     • nc = 0：这是您一直在寻找的根 - 但您必须检查解决方案是否与您的约束兼容。

     • nc = 1：将此边缘设为(v,z)        当你在树中时，这条边的方向是v-> z。将v标记为已完成。

       • 2.3.1检查z是否标记为已完成。             如果不是，请检查连接nc2的无定向边的数量z。                 nc2 = 1：将z用于v，重复步骤2.3。

3. 如果您还没有找到根节点，则您的问题实例不明确： 随意定向剩余的无定向边缘。

备注

1. 终止： 每个节点最多访问4次：

   • 每步2次
   • 每步最多两次2.2.2
   • 每步最多一次2.3

2. 正确性：

   • 包围锐角的所有边缘均按步骤2.2.1
   定向

3. 复杂性（时间）：

   • 访问每个节点：O（n）;

   • 顺时针扫过连接给定顶点的所有边需要对这些边进行排序 因此，您需要在约束O( sum_i=1..m ( k_i * lg k_i ) )下的m <= n个顶点sum_i=1..m k_i = n O ( n * lg n)。

     总共需要sum_i=1..m ( k_i * lg k_i ) <= n * lg n，sum_i=1..m k_i = n为m <= n O(n)任意O(n)（可通过应用拉格朗日优化来证明）。

     [注意：如果你的树有一个由常数限定的度数，理论上你会在每个受影响的节点上按时间排序;在这种情况下的总计：O(n * lg n)]

   • 子树标记：
     如果实现为dfs，则通过此过程最多访问图中的每个节点2次。因此，调用此子例程的总计为O(n)。

     总计：{{1}}

4. 复杂性（空间）：

   • {{1}}用于排序（顶点度不是常量限制的）。

5. 问题可能不明确：

   • 多种解决方案：例如施泰纳树
   • 没有解决方案：例如形状像双尖箭头（＆lt; - ＆gt;）
   的图形

Answer 2

一个简单的解决方案是在红色节点或节点中心周围定义一个2d矩形，并用摩尔曲线计算每个节点。摩尔曲线是一个空间填充曲线，更多的是希尔伯特曲线的特殊版本，其中起点和终点相同，坐标位于2d矩形的中间。在一般情况下，您的问题看起来像是一个离散的寻址空间问题。