Question

给定一个整数数组，整数子集的最大总和是多少，这样子集中的整数最初并不是彼此相邻？

示例：

[3, 8, 4] => max sum is 8, since 8 > (3+4)
[12, 8, 9, 10] => max sum is 12 + 10 = 22, since this is greater than 12 + 9 and 8 + 10

我有兴趣找出执行此操作的算法。方法/思维过程=非常感谢。

编辑：整数范围从1到1000，包括1和1000。（由于这完全是一个学习练习，如果整数范围从-1000到1000，我仍然有兴趣学习不同的方法。）

Answer 1

让你有数组A {Ai, 1 <= i <= n }

F(i) - 子阵列Aj { 1 <= j <= i }的最大总和，然后是

F(0) = 0 - 空子阵列

F(1) = A(1) - 只有第一个元素

F(i) = max(F(i-2) + A(i), F(i-1)) , 2 <= i <= n

F(n) - 回答

C ++实现：

int GetMaximumSubarraySum(const vector<int>& a)
{
    // note that vector a have 1-based index
    vector<int> v(a.size());
    v[0] = 0;
    v[1] = a[1];
    for(int i =2; i < a.size(); i++)
        v[i] = max(v[i-2] + a[i], v[i-1]);

    return v.back();
}

<强>解释

首先，主要想法是使用dynamic programming。我们尝试使用具有N-1和N-2第一元素的数组的已知答案来解决具有N元素的数组的任务。如果N = 0答案为0，而N = 1答案为A[1]。很明显。对于N >= 2，我们有两种不同的方式：

使用元素A[N],然后答案是A[N] + F[N-2]（因为我们不能使用A [N-1]元素而F[N-2]是子数组1..N-2的最佳解决方案1}}，我们不关心是否使用F[N-2]元素，这只是子阵列1..N-2的最佳解决方案。
不要使用元素A[N]，那么答案是F[N-1]（因为我们可以使用A [N-1]元素而F[N-1]是子阵列的最佳解决方案1..N-1，我们也不关心是否使用F[N-1]元素。

所以我们需要在这两种情况中获得最大值。要解决此任务，您需要按递增顺序计算F[N]并记住答案。

让我们看一下你的例子：

[12, 8, 9, 10]

F[0] = 0

F[1] = 12 - 使用第一元素

F[2] = max(F[0]+A[2], F[1]) = max(8, 12) = 12 - 使用第一元素

F[3] = max(F[1]+A[3], F[2]) = max(21, 12) = 21 - 使用1-st，3-rd元素

F[4] = max(F[2]+A[4], F[3]) = max(22, 21) = 22 - 使用第1，第4个元素

答案是F[4] = 22。

Answer 2

我所知道的唯一一致成功的思考过程就是以前见过这个问题。看看你的问题，我的第一个想法是“我需要最大化一个总和，看似是一组相当简单的布尔约束”。在Knuth第4A卷第7.1.4节算法B Knuth描述了如何解决这样的问题，只要约束可以表示为可管理大小的http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_decision_diagram。如果您已经有了BDD软件包，那么只需构建描述特定约束的BDD，就可以解决这类问题。

我的第二个想法是注意稍后在同一部分中，Knuth显示了BDD与布尔逻辑的线性网络之间的连接。鉴于此，应该有一个易于处理的动态编程解决方案来解决您的问题。如果您正在寻找一种通用的学习方法，动态编程是一个非常好的选择。在这种情况下，它似乎导致一种算法非常类似于Ivan Benko所呈现的算法，尽管他似乎在假设下工作 - 由您的示例数据支持 - 整数都是＆gt; = 0，并且它可以用于一般整数，还有一些if语句。

Answer 3

递归思考：最好的结果是最大的情况 - 使用第一个元素（第一个在递归分支中）或不使用它总和

Best（i）= Max（A [i] + Best（i + 2），Best（i + 1））

Answer 4

这是一个解决方案，称为kadane的Alogithme

Algorithm 1 Kadane’s algorithm
   M ← 0, t ← 0
   i ← 1
   for j ← 1 to n do          
      t ← t + a[j]
      if t > M then M ← t, (x1 , x2 ) ← (i, j)           
      if t ≤ 0 then t ← 0, i ← j + 1// reset the accumulation
   end for
   output M , (x1 , x2 )

如何找到算法：给定一个整数数组，整数子集的最大总和是多少

4 个答案: