Question

我在解决Ax = B

形式的系统时遇到问题

系统的解决方案应该是

x = inv(A)*B

然而，这不起作用。

当我尝试上面的代码时，我收到以下错误消息：

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
     Results may be inaccurate. RCOND = 1.156482e-018.

似乎matlab在反转我指定的矩阵时遇到了麻烦。我试着通过键入inv（A）* A

来验证反函数是否正常工作

这应该给出单位矩阵，但是我得到了相同的错误和一些垃圾数字。

这是我正在使用的A矩阵：

A = [5/2   1/2  -1     0     0    -1/2  -1/2   0     0
     1/2   1/2   0     0     0    -1/2  -1/2   0     0 
    -1     0     5/2  -1/2  -1     0     0    -1/2   1/2
     0     0    -1/2   1/2   0     0     0     1/2  -1/2
     0     0    -1     0     3/2  -1/2   1/2   0     0
    -1/2  -1/2   0     0    -1/2   2     0    -1     0  
    -1/2  -1/2   0     0     1/2   0     1     0     0 
     0     0    -1/2   1/2   0    -1     0     2     0 
     0     0     1/2  -1/2   0     0     0     0     1]

关于为什么这不起作用的任何想法？我还尝试将A转换为稀疏矩阵（稀疏（A）），然后运行inverse命令。没有骰子。

Answer 1

问题确实存在于你的数学中。您提供的矩阵不是完全排名，因此它不可逆。您可以手动验证（没有花时间这样做），但MATLAB已经通过显示警告来指出这一点。

由于您正在处理浮点数，这有时会导致其他细微问题，其中一个问题可以在det(A)的结果中看到，其大小为1e-16，即机器精度或者在实践中为0。

通过执行rank功能rank(A) = 8，您可以看到此Matrix未达到满级。对于9x9矩阵，这确实意味着矩阵对于双精度而言是不可逆的（因为rank函数考虑了机器精度）。

如果您想使用MATLAB获得与手动计算相对应的结果，您可以使用符号工具箱及其vpa（可变精度算术）来解决可能的数值问题，代价是速度较慢计算

B = [5  1 -2  0  0 -1 -1  0  0;
     1  1  0  0  0 -1 -1  0  0;
    -2  0  5 -1 -2  0  0 -1  1;
     0  0 -1  1  0  0  0  1 -1;
     0  0 -2  0  3 -1  1  0  0;
    -1 -1  0  0 -1  4  0 -2  0;
    -1 -1  0  0  1  0  2  0  0;
     0  0 -1  1  0 -2  0  4  0;
     0  0  1 -1  0  0  0  0  2];
A = B/2;
size(A)    % = [9 9]
det(A)     % = -1.38777878078145e-17
rank(A)    % = 8
C = vpa(A);
det(C)     % = 0.0
rank(C)    % = 8

使用VPA和浮点，您将得到等级为8，大小为[9 9]且行列式实际上为0，即单数或不可逆。更改一些条目可能会使您的矩阵成为常规（非单数），但不能保证其工作，它将解决不同的问题。

要解决A*x=b的实际问题x，您可以尝试使用mldivide（a.k.a。反斜杠运算符）或Moore-Penrose伪逆：

x1 = A\b;
x2 = pinv(A)*b;

但请记住，这样的系统没有唯一的解决方案，因此伪逆和反斜杠操作符可能（在这种情况下）将返回非常不同的解决方案，无论其中任何一个是否可接受真的取决于您的应用

Answer 2

这正是它所说的。矩阵是singular, which means it can't really be inverted。并非所有矩阵都可以。

在几何术语中，您有一个矩阵可以将一个9维对象转换为另一个9维对象，但会完全展平一个维度。这无法撤消;没有办法知道在这个方向上拉出多远。

Answer 3

矩阵是单数，考虑下面的B = 2 * A：

B = [5  1 -2  0  0 -1 -1  0  0;
     1  1  0  0  0 -1 -1  0  0;
    -2  0  5 -1 -2  0  0 -1  1;
     0  0 -1  1  0  0  0  1 -1;
     0  0 -2  0  3 -1  1  0  0;
    -1 -1  0  0 -1  4  0 -2  0;
    -1 -1  0  0  1  0  2  0  0;
     0  0 -1  1  0 -2  0  4  0;
     0  0  1 -1  0  0  0  0  2]

det(B)

0

Answer 4

bicgstab(A,b,tol,maxit)，一个迭代求解器，能够求解单个矩阵A的奇异线性系统A * x = b：

size(A)=[162, 162] 
rank(A)=14 
cond(A)=4.1813e+132

我用过：

tol=1e-10; 
maxit=100;

上述所有内容（包括svd，\，inv，pinv，gmres）都不适合我，bicgstab做得很好。 bicgstab在迭代4处收敛到具有相对残差1.1e-11的解。它适用于稀疏矩阵。

请参阅此处的文档：https://uk.mathworks.com/help/matlab/ref/bicgstab.html

求解形式Ax = B ==＆gt;的矩阵。错误：矩阵接近单一或严重缩放

4 个答案: