使用scipy.interpolate进行样条曲线表示：低振幅，快速振荡函数的插值不良

Question

我需要（数字地）计算函数的一阶和二阶导数，我试图同时使用splrep和UnivariateSpline来创建样条函数，以便插入函数衍生物。

然而，对于大小为10 ^ -1或更低且（快速）振荡的函数，样条曲线表示本身似乎存在固有问题。

作为示例，请考虑以下代码在区间（0,6 * pi）上创建正弦函数的样条线表示（因此函数仅振荡三次）：

import scipy
from scipy import interpolate
import numpy
from numpy import linspace
import math
from math import sin

k = linspace(0, 6.*pi, num=10000) #interval (0,6*pi) in 10'000 steps
y=[]
A = 1.e0 # Amplitude of sine function

for i in range(len(k)):

  y.append(A*sin(k[i]))

tck =interpolate.UnivariateSpline(x, y, w=None, bbox=[None, None], k=5, s=2)
M=tck(k)

以下是M = A = 1.e0且A = 1.e-2

的结果

http://i.imgur.com/uEIxq.png幅度= 1

http://i.imgur.com/zFfK0.png幅度= 1/100

显然，样条线创建的插值函数完全不正确！第二张图甚至没有振荡正确的频率。

有没有人对此问题有任何见解？或者知道在numpy / scipy中创建样条曲线的另一种方法？

干杯， 罗里

Answer 1

<击> 我猜你的问题是由于别名造成的。

你的例子中x是什么？

如果您插入的x值的间距小于原始点，则您将固有地丢失频率信息。这完全独立于任何类型的插值。它是下采样中固有的。

没关系上面的别名。它不适用于这种情况（虽然我仍然不知道你的例子中有x ...

我刚刚意识到，当您使用非零平滑因子（s）时，您正在评估原始输入点的点。

根据定义，平滑不会完全符合数据。请尝试改为s=0。

作为一个简单的例子：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import interpolate

x = np.linspace(0, 6.*np.pi, num=100) #interval (0,6*pi) in 10'000 steps
A = 1.e-4 # Amplitude of sine function
y = A*np.sin(x)

fig, axes = plt.subplots(nrows=2)
for ax, s, title in zip(axes, [2, 0], ['With', 'Without']):
    yinterp = interpolate.UnivariateSpline(x, y, s=s)(x)
    ax.plot(x, yinterp, label='Interpolated')
    ax.plot(x, y, 'bo',label='Original')
    ax.legend()
    ax.set_title(title + ' Smoothing')

plt.show()

您只清楚地看到低幅度平滑效果的原因是由于平滑因子的定义方式。有关详细信息，请参阅scipy.interpolate.UnivariateSpline的文档。

即使幅度较高，如果使用平滑，插值数据也不会与原始数据匹配。

例如，如果我们只是在上面的代码示例中将幅度（A）更改为1.0，我们仍然会看到平滑效果......

Answer 2

问题在于为s参数选择合适的值。它的值取决于数据的缩放。

仔细阅读文档，可以推断出应该在s = len(y) * np.var(y)附近选择参数，即数据点数*方差。以s = 0.05 * len(y) * np.var(y)为例，给出了一个平滑样条曲线，它不依赖于数据的缩放或数据点的数量。

编辑：s的合理值当然也取决于数据中的噪音水平。文档似乎建议在s范围内选择(m - sqrt(2*m)) * std**2 <= s <= (m + sqrt(2*m)) * std**2，其中std是与您想要平滑的“噪音”相关联的标准偏差。