我正在做一个独特的霍夫曼编码形式，我正在构建一个k-ary（在这种特殊情况下，3-ary）树已满（每个节点将有0或k个孩子），我知道有多少在我构建它之前它会有。如何根据叶数计算树中的节点总数？
我知道在完整二叉树（2-ary）的情况下，其公式为2L - 1，其中L是叶子数。我想将这个原则扩展到k-ary树的情况。
答案 0 :(得分：33)
考虑如何证明完整二叉树的结果，并且您将看到如何一般地完成它。对于完整的二叉树，例如高度h，节点N的数量为
N = 2^{h+1} - 1
为什么呢？由于第一级具有2^0个节点，因此第二级具有2^1个节点，并且通常k级具有2^{k-1}个节点。将这些添加到总共h+1个级别（因此高度h）会给出
N = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^h = (2^{h+1} - 1) / (2 - 1) = 2^{h+1} - 1
叶子总数L只是最后一级的节点数，因此L = 2^h。因此，通过替换，我们得到
N = 2*L - 1
对于k - ary树，除2之外没有任何变化。所以
N = 1 + k + k^2 + k^3 + ... + k^h = (k^{h+1} - 1) / (k - 1)
L = k^h
所以一些代数可以带你走最后一步
N = (k*L - 1) / (k-1)
答案 1 :(得分：0)
你提到的2L-1的公式来自于查看完整，完整和平衡的二叉树：在最后一级你有2 ^ h叶子，在其他级别：1 + 2 + 4 + .. .. + 2 ^（h-1）= 2 ^ h -1叶子。当您在树中“混乱”级别并创建不平衡级别时，您拥有的内部节点数量不会更改。
在3-ary树中它的逻辑相同：在最后一级你有3 ^ h叶子，而在其他级别：1 + 3 + 9 + .... + 3 ^（h-1）=（ 3 ^ h -1）/ 2，这意味着在3-ary树上你有1.5 * L - 0.5叶子（这样就可以了 - 因为程度越大，你需要更少的内部节点）。我也在这里，当你弄乱树中的等级时，你仍然需要相同数量的内部节点。
希望它能帮到你
答案 2 :(得分：0)
对于任何k-ary树，节点总数n = [（k ^（h + 1）） - 1] /（h-1）其中h是k-ary树的高度。
Ex： - 对于完整的二叉树（k = 2）总数没有。节点= [（2 ^（h + 1）） - 1] /（h-1）。
所以对于身高3，总数没有。节点将是15。
对于完整的三元树（k = 3）总数没有。节点= [（3 ^（h + 1）） - 1] /（h-1）。
所以对于身高3，总数没有。节点将是40。