Question

在课堂上，我们得到了一个2 ^ n mod（m）的算法。

    to find 2^n mod(m){  
      if n=0 {return 1;}  

      r=2^(n-1)mod(m);  
      if 2r < m {return 2r;}  
      if 2r > =m {return 2r-m;}  
    }

我们被告知运行时为O（n * size（m）），其中m的大小是以m为单位的位数。

我理解n部分，但我无法解释尺寸（m），除非是因为涉及减法。任何人都可以对此有所了解吗？

提前致谢。

Answer 1

我相信这用于加密（所谓的不可逆函数）。

如果我们需要递归地计算(2**n) mod m，这将是最明显的方法。由于递归深度为n，因此O(n)复杂度很明显。

但是，如果我们想支持任意大小的m（密码学中可以使用512位密钥，并且比任何算术寄存器都大得多），我们也应该考虑（在大多数情况下我们不会）必须使用任意精度的算术，所以这个术语通常是1）。

编辑 @Mysticial：该函数没有明确地调用硬件mod操作，它只是移位和减法。移位总是O(1)，而加/减是O(ceil(m/sizeof_ALU_precision))

Answer 2

n部分很清楚，因为您已经了解自己。 size(m)（m中的位数，基本上是log(m)）是因为mod。即使您的CPU在一条指令中为您执行此操作，也需要log(m)（比如说32位）。如果m非常大，就像加密密钥一样，这可能会变得相当大。

为什么m中的位数？记住分裂：

abcdefghijk | xyz
            |-----
alm         | nrvd...
 opq
  stu
   wabc
    .......

您执行减号的次数最多是被除数中的位数。