Question

我正在研究Cormen的“算法简介第2版”中的Ford-Fulkerson算法。在伪代码中描述有向图G =（V，E）如下，其中f是在VxV上定义的流

FORD-FULKERSON(G, s, t)
    for each edge (u,v) in E(G)
        do f[u, v] = 0
           f[v, u] = 0
    while there is a path p from s to t in the residual network Gf
        do m = min{c(u, v)-f[u, v]: (u, v) is on p}
            for each edge (u, v) on p
                do f[u, v] = f[u, v] + m
                   f[v, u] = - f[u, v]

残差图Gf具有与G相同的顶点，并具有那些有序对的边顶点（u，v），其中c（u，v）-f（u，v）> 0.（编辑：c是在开始时给出的容量函数，并且在不是图的一部分的边上扩展为零）

我不确定在“双向”存在边缘的情况下该怎么做，例如当边缘及其反转在图中时算法中会发生什么。我假设最小的c（u，v）是图中的原始容量。在（a，b）和（b，a）都是边缘的情况下，我是否需要以某种方式处理残差图中的四条边？在我的设置中，我无法直接处理平行边缘。

我在SO上发现了以下问题：Maximum flow - Ford-Fulkerson: Undirected graph 但我不清楚结果如何。

Answer 1

伪代码中没有任何关于图形是循环还是具有“反向边缘”的假设。只有边缘。

如果“双向”存在边缘，则c（u，v）和c（v，u）将是不同的。 c（u，v）只是从u到v的边的容量，而c（v，u）是从v到u的边的容量。他们彼此没有任何关系，而不是任何其他边缘。

换句话说，c（u，v）和f [u，v]实际上都是 edge 上的函数，而不是 vertices 。（我认为如果以这种方式编写，算法会更清晰。）因此将它们视为c（E）和f [E]，其中E是边缘。 “残余网络”也是边缘的集合，而不是顶点。剩余网络就是所有边缘，使得c（E） - f [E]为正。

所有算法的作用是找到从源到目标但仍有一些备用容量的任何路径，然后增加流量以消耗该备用容量。 f [E]是穿过边缘的流动。因此，找到从s到t的任何路径，其中所有f [E]都小于c（E），沿着该路径获取最小差异，并通过该差异增加沿该路径的流量。迭代，直到没有留有备用容量的路径。

如果E和E'恰好是彼此相反的两条边，则算法不关心;它将它们视为独立的边缘。

了解算法的作用很简单。证明它收敛，证明它得到正确的答案，并分析其运行时间是困难的部分。

[更新]

啊，我明白了。 f [u，v]实际上是从u到v的流动，而不是沿着边缘的流动（因为可能有两条边沿相反方向连接u和v）。

我认为您可以根据顶点维护f [u，v]，但成本图和残差图仍然需要基于边。所以基本上完全按照算法所说的做法：对于路径上的每个边E =（u，v），找到c（u，v）-f [u，v]的最小值并相应地更新f []值。然后根据原始图的边缘计算新的残差图;也就是说，对于每个边E =（u，v），如果c（u，v）大于f [u，v]，则E是残差图的成员。

来自Cormen等人的Ford Fulkerson

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