确定最小切割的唯一性

Question

免责声明：此 是一个家庭作业问题。截止日期已经过去，所以讨论可以继续进行而无需担心。

我正在努力解决的问题是确定图表 G =（V，E）中特定的最小 s-t 是否是唯一的。根据{{​​3}}使用max-flow算法找到某些 min-cut很简单，但是你如何显示 min-cut？

Answer 1

概要

给定最小ST切割，（U，V）具有切边E'，我们做一个简单的观察：如果这个最小切割不是唯一的，那么存在一些具有一组切边E的其他最小切割''，这样E''！= E'。

如果是这样，我们可以迭代E'中的每个边，增加其容量，重新计算最大流量，并检查它是否增加。

作为上述观察的结果，在E'中存在边缘，当增加时，如果原始切割不是唯一的，则最大流量不会增加。

我会让你填写详细信息并证明这是一项多时间任务。

Answer 2

好的，既然你不想马上得到整个答案，我会给你一些提示。尽可能多地阅读您认为必要的内容，如果您放弃 - 请继续阅读所有内容。

<强> 1
如果没有其他最小切割，切割是独一无二的。

<强> 2
如果你成功找到了不同的最小切割，那么第一次切割并不是唯一的。

第3：
你的链接给了我们一个min-cut，它是残差图中s的所有可到达顶点。你能想到一种获得不同切割的方法，不一定相同吗？

<强> 4
为什么我们特别从s可以获得那些顶点？

<强> 5
也许我们可以做一些与t类似的事情？

<强> 6
从t开始，查看相同的残差图。查看箭头 reverse 方向上可从t到达的顶点组（表示可以到达t的所有顶点）。

<强> 7
这个组也是一个最小的（或者实际上是S \，确切地说是这个组）。

8（最终答案）：
如果切割与原始切割相同，那么只有一个。否则，您刚刚发现了2个切口，因此原始切割不可能是唯一的。

Answer 3

鉴于最大流量/最小切割问题实际上是一个线性规划问题（分别是原始/双重），我认为任何方法都可以检查LP解决方案的唯一性，并找到替代的最优解决方案，如果它不唯一可用于此上下文。 我用谷歌搜索了这篇论文：On the Uniqueness of Solutions to Linear Programs 编辑1：根据dzhuang的建议，对于那些不知道maxflow-mincut定理是线性规划中强对偶定理的特例的人来说，这里是解释这种细微差别的链接：{{3} }