反因子的增长

Question

考虑反因子函数，f（n）= k其中k！是最大的因子＆lt; = n。我被告知逆因子函数是O（log n / log log n）。这是真的吗？或者它只是渐近增长的非常好的近似值？我尝试过的方法都非常接近log（n）/ log log（n）（分母中的一个小因子或一个小项）但不完全。

Answer 1

请记住，当我们使用O（...）时，常数因子并不重要，任何比另一个术语增长更慢的术语都可以被删除。 ~表示“与...成正比。”

如果k很大，那么n = k! ~ k^k。所以log n ~ k log k，或k ~ log n / log k或k ~ log n / log(log n / log k) = log n / (log log n - log log k)。由于n >> k我们可以在分母中删除该字词，因此我们k ~ log n / log log n k = O(log n / log log n)。

Answer 2

从Stirling's Approximation开始获取ln（k！）并从那里向后工作。不为整件工作而道歉;我的大脑今晚似乎没有工作。