霍夫变换方程

Question

我想知道为什么霍夫变换使用rho=xcos(theta) + ysin(theta)来表示直线(y=mx+b)。我试图解决这个问题（然后转到wikipedia article关于此问题），但找不到从另一个中推导出来的方法。

有谁知道如何从另一个派生出来？

提前谢谢。

Answer 1

推导：

等式x/a + y/b = 1：

• 定义一行
• 有x-intercept = a
• 有y-intercept = b

从三角学中，回想一下按角度t旋转的光线将如何根据(angle=t, radius=1) -> (x=cos(t), y=sin(t)) *

投射到x轴和y轴上

在标记点处绘制切线。三角函数（甚至具有相似三角形的几何图形）告诉我们切线与x=1/cos(t)，y=1/sin(t)相交。因此距离为1的线将具有a=1/cos(t)和b=1/sin(t)，因此由x/(1/cos(t)) + y/(1/sin(t)) = 1 ...

描述

...只有cos(t) x + sin(t) y = rho rho=1

你可以看到rho对应于线与原点的距离（通过使用等式，或者通过注意这里的乘法只是将所有值缩放相同的量，有效地重新缩放网格）。

---

*请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/File:Unit_circle.svg以获取信用

Answer 2

这只是从线性坐标系到旋转坐标系的转换。维基百科文章中概述了其原因：

  

在霍夫变换中，主要思想是将直线的特征视为图像点（x1，y1），（x2，y2）等，而是根据其参数，即，斜率参数m和截距参数b。基于该事实，直线y = mx + b可以表示为参数空间中的点（b，m）。然而，人们面临的问题是垂直线会产生参数m和b 的无界值。出于计算原因，最好在Hough变换中使用一对不同的参数，表示为r和θ（θ）。

要在两者之间进行转换，请使用等式y = -(cos(theta)/sin(theta))x + r/sin(theta)。因此m = -(cos(theta)/sin(theta))和b = r/sin(theta)。这些在sin(theta)=0或theta=0时明显失效，这就是首选旋转坐标系的原因（对于具有无限斜率的直线没有任何问题）。

Answer 3

极坐标系是2D坐标系，其参考点（如原点）称为极点，距极点的线称为极轴。极坐标系中的每个点都表示为（rho，theta），其中“ rho”是极点（原点）与该点之间的距离，“ theta”是极轴与连接极点和直线的线之间的角度。点。参见here。

可以使用以下三角方程将极坐标（rho，theta）转换为笛卡尔坐标（x，y）。

x = rho cos theta       ----(1) 
y = rho sin theta       ----(2)

有关更多信息，请参考here。

我们如何得到上述方程式？

方程使用直角（三角法）的概念

查看图片here。

cos theta = adjacent-side/hypotenuse = x/rho,  thus we get (1)     
sin theta = opposite-side/hypotenuse = y/rho,  thus we get (2)
and Pythagorean theorem says,
hypotenuse^2 = adjacent side ^2 + opposite side^2, so
rho^2 = x^2 + y^2       ----(3)

现在让我们导出笛卡尔坐标（x，y）和极坐标（rho，theta）之间的关系

rho^2 = x^2 + y^2       ---- from (3)
rho^2 = x*x  +  y*y
rho^2 = x(rho cos theta) + y (rho sin theta)   ---- from (1) and (2)  
rho^2 = rho(x cos theta + y sin theta)
rho = x cos theta + y sin theta

Answer 4

每对rho, theta与给定线的x,y对相关，因为距离原点rho的{​​{1}}距离theta在线上坐标。

使用x,y等式代替rho, theta，以便可以将y=mx+b值序列放入等式中，而不会出现rho, theta方法出现的计算问题斜率未定义（即线是垂直的）。