Question

给定一个序列（d1，d2，...，dn），我想评估所有i！= j的乘积（1-Dij），其中Dij = 1，如果di = dj，则为0。

我的代码只检查了Dij

prod = 1;
for (int i=1; i<n; ++i) {
    for (int j=i; j<=n; ++j) {
        prod *= (1 - Dij);
    }
}

我知道当我得到Dij = 1时我可以停止，但我想要做的是获得Dij的最小表达来检查。这样我有一个表达式然后我可以使用差异序列并对其进行评估。所以我知道我可以i<j代替i != j。所以我想扩展这个产品并得到类似的东西n = 3：

(1 - D12) (1 - D13) (1 - D23) = 1 - D12 - D13 - D23 + D12*D13 + D12*D23 + D13*D23 - D12*D13*D23

但我能做的更多。该表达式实际上总是等于

1 - D12 - D13 - D23 + 3 * D12*D13 - D12*D13*D23

我的问题是：

为什么D12 * D13 = D12 * D23？这总是正确的（意味着d序列是什么并不重要），但我真的不明白为什么因为在我看来这意味着D13 = D23并不总是正确的（这取决于d序列）。这是有助于使表达更小的关系。
如何找到这样的所有关系并获得最小的表达式？上面的表达是否最小？我甚至都不知道。

Answer 1

您正在尝试确定D是否包含任何重复项。最终，这需要您将每个条目相互比较，这只是枚举两个元素的所有独特组合。最终成为N*(N-1)/2。您可以通过先排序D然后搜索重复的相邻对（O(N*log(N)）来做得更好，或者，假设您坚持有界的整数范围，您可以使用位向量将其减少到线性时间，或者如果你喜欢冒险，那就是基数。

Answer 2

我可以为你回答1。考虑这两种情况：

案例1：D13 = D23

您可以在这里乘以D12两侧以获得D12 * D13 = D12 * D23。

案例2：D13 != D23

这意味着d1 = d3 XOR d2 = d3，但不是。因此，我们知道d1 != d2。这意味着D12 = 0。因此

D12 * D13 = 0 * D13 = 0 = 0 * D23 = D12 * D23

当您认为这意味着D13 = D23时，您的逻辑问题在于您不能除以0，而D12可能是0（总是在第二次出现）案件）。

你的第二个问题很有意思，我不知道答案，但这里有一些可能有用的观察结果。

连续绘制数字1, 2, ..., n：

1  2  3 ... n

给定表达式D_(i1,j1) * D_(i2,j2) * ... * D_(ik,jk)，从i1 to j1和i2 to j2创建一个弧，依此类推。这会将该行转换为图形（顶点是数字，边是这些弧）。

该图表的每个连接组件代表数字1, 2, ..., n的一个子集，从整体上看，它为{1, 2, ..., n} D12 * D23 = D12 * D13 --------- | | 1 -- 2 -- 3 = 1 -- 2 3提供了set partition。

事实：具有相同对应设置分区的任何两个术语都是相同的。

示例：

D12 * D13 * D23

 ---------
|         |
1 -- 2 -- 3

有时这个事实意味着程度是相同的，就像上面的情况一样，有时程度会降低，如

\prod_{i<j} ( 1 - Dij ) = \sum_{P set partition of \{1,2,...,n\}} c_P * m_P

结果是，现在您可以将产品（1 - Dij）表示为设置分区的总和：

mP = mP1 * mP2 * ... * mPk

其中单项术语由

给出

P = P1 union P2 union ... union Pk

Pi = { a < b < c < ... < z }和m_Pi = Dab * Dac * ... * Daz时

c_P = \prod (#P1)! (#P2)! ... (#Pn)!

最后，系数项只是

{{1}}

解决了这个问题后，我现在确定这属于http://math.stackexchange.com，而不是在这里。

Answer 3

我没有按照数学计算，但是如果你知道di的大小是有限的，你不会使用散列表编码，或者甚至可能是稀疏的位数组？只需遍历列表，在对应于di值的位置填入数据结构“1” - 如果已经为1，则返回0.如果完成（n步），则返回1.应该是O （n）的

最小化检查以在列表中查找重复

3 个答案: