我有两个方阵矩阵A和B.A是对称的，B是对称的正定矩阵。我想计算$ trace（A.B ^ { - 1}）$。现在，我计算B的Cholesky分解，求解等式中的C $ A = C.B $并总结对角元素。
是否有更有效的处理方式？
我计划使用Eigen。如果矩阵稀疏（A通常是对角线，B通常是带对角线），你能提供一个实现吗？
答案 0 :(得分：5)
如果B是稀疏的，那么在
B求解时，它可能是有效的（即O（n），假设条件编号为x_i}）
B x_i = a_i
（样本Conjugate Gradient代码在维基百科上提供）。将a_i作为A的列向量，可以得到O（n ^ 2）中的矩阵B^{-1} A。然后，您可以将对角线元素相加以获得跟踪。通常，这种稀疏逆乘法比获得全部特征值更容易。 为了比较，Cholesky decomposition是O（n ^ 3）。（请参阅Darren Engwirda关于Cholesky的评论）。
如果您只需要近似跟踪，您实际上可以通过平均将成本降低到O（q n）
r^T (A B^{-1}) r
超过q随机向量r。通常是q << n。如果随机向量r的分量满足
< r_i r_j > = \delta_{ij}
其中< ... >表示r分布的平均值。例如，组件r_i可以是具有单位方差的独立高斯分布。或者可以从+ -1统一选择它们。通常跟踪标度如O（n）和跟踪估计中的误差标度如O（sqrt（n / q）），因此相对错误标度为O（sqrt（1 / nq））
答案 1 :(得分：1)
如果广义特征值的计算效率更高，则可以计算广义特征值A*v = lambda* B *v，然后对所有lambda进行求和。