单调增加2-d阵列

Question

给出一个算法，在n×n矩阵中找到给定元素x（给出坐标），其中行和列单调递增。

我的想法： 减少问题集大小。

在第1列中，找到最大的元素＆lt; = x。我们知道x必须在这一行或之后（下）。在矩阵的最后一列中，找到最小的元素＆gt; = x。我们知道x必须在此行或之前。对矩阵的第一行和最后一行执行相同的操作。我们现在已经定义了一个子矩阵，如果x完全在矩阵中，它就在这个子矩阵中。现在重复这个子矩阵上的算法......沿着这些方向做点什么。

[YAAQ：又一个阵列问题。]

Answer 1

我认为你不可能希望超过O(N)，这是可以实现的。 （N是矩阵的宽度）。

为什么你不能希望更多

想象一下像这样的矩阵：

0 0 0 0 0 0 ... 0 0 x
0 0 0 0 0 0 ... 0 x 2
0 0 0 0 0 0 ... x 2 2
.....................
0 0 0 0 0 x ... 2 2 2
0 0 0 0 x 2 ... 2 2 2
0 0 0 x 2 2 ... 2 2 2
0 0 x 2 2 2 ... 2 2 2
0 x 2 2 2 2 ... 2 2 2
x 2 2 2 2 2 ... 2 2 2

其中x是未知数字（不是相同的数字，即每列中可能是不同的数字）。为了满足矩阵的单调性，您可以在所有x个位置放置0,1或2中的任何一个。因此，要查找矩阵中是否有1，您必须检查所有x个地方，并且其中有N个。

如何制作O(n)

想象一下，您必须为所有行找到number > q（给定数字）的第一列标记。你从矩阵的右上角开始;如果你看到的数字更大，你就走了;否则就下去了。当你在最后一行时结束。你去的地方是你搜索的地方。如果他们中的任何一个有你搜索的号码，你就找到了它。

此算法为O(n)，因为在每个步骤中，您可以向左或向下移动。完全不能超过N次，N次。因此它是O(n)。

Answer 2

选择一个角元素，一个在行中最大，在列中最小（或另一个）。与x比较。根据比较结果，您可以从进一步搜索中排除行或列。

与原始矩阵相比，新矩阵的尺寸总和减少了1。迭代地应用上面的内容。在2*n步后，您最终得到1x1矩阵。

Answer 3

如果“行和列单调增加”意味着每个（行，列）中的值增加，使得对于任何行，（rowM，col1）＆lt; （rowM，col2）＆lt; ......＆lt; （rowM，colN）＆lt; （rowM + 1，col1）...

然后你可以把它当作一个从最小到最大排序的一维数组，然后通过从开始时采样1/2（行* cols）的项目进行标准二进制搜索，然后对后面是1/4（行* cols）的元素（如果采样的第一个元素是＆gt; x）或者前面（如果采样的第一个元素是＆lt; x），等等。