一组给定的组元素是一组陪集代表吗？

Question

我担心这个问题有点技术性，但我希望有人可能会遇到类似的问题，或者给我一些指针。

如果G是一个组（在代数结构的意义上），并且如果g ₁ ，...，g _n 是G的元素，那么是否存在算法（或某些专用程序中的函数，如GAP）确定是否存在G的子组，使得这些元素形成子组的陪集的一组代表？ （我们可以假设G是一个置换群，甚至可能是完全对称群。）

（当然有几种算法可以找到给定子组的陪集，比如Todd-Coxeter算法;这是一种反问题。）

谢谢， 丹尼尔

Answer 1

我能想出的唯一解决方案就是天真。基本上，如果你有元素x1,...,xn，你可以使用GAP的LowIndexSubgroupsFpGroup来枚举索引为n的所有子组（丢弃索引为＆lt; n的子组）。然后你将遍历每个这样的组，生成陪集，并检查每个陪集是否包含其中一个元素。

这是我能想到的全部。如果你想出一个更好的方法，我会很感兴趣。

Answer 2

您要确定的是，如果G的子组H是{g ₁ ，...，g _n }是{{ H的陪集的3}}，即由H的陪集划分G的代表。

首先，按transversal定理，| G | = | G：H | * | G |，其中| G：H | = | G | / | H |是G的子群H的索引。如果{g ₁ ，...，g _n }确实是横向的，那么| G：H | = | {g ₁ ，...，g _n } |，因此算法中的第一个测试应该是n是否除| G |。

此外，由于g _i 且g _j 仅在g _i g _{j ^-1 在H中，然后您可以检查索引为n的子组以查看它们是否避免g i g j ^-1 。另请注意（g i g j ^-1 ）（g j g k ^-1 ）= g i g k ^-1 ，因此您可以选择g的任何配对<子> I 秒。}

如果n与| G |相比较小，则这应该足够了。

另一种方法是从H开始作为普通组，并添加集合H ^* = {h in G：h ^k ！= g _i g _j ^-1 ，对于所有i，j，k; i！= j}到H的生成器，直到你不能再添加（即直到它不再是一个子组）。然后，H是G的最大子群，使得H是H ^* 的子集。如果你能得到所有这样的H（并且它们足够大）那么你要寻找的子组必须是其中之一。

对于较大的n，这种方法会更好。

无论哪种方式，非指数时间方法都不明显。

编辑：我刚刚在这里讨论了这个话题：Lagrange's

Answer 3

稍微不那么粗暴的方法是枚举索引n的所有子组，如Il-Bhima建议的那样，然后对于每个子组，检查每个x _i * x _j ^-1 以查看它是否包含在子组中。

当且仅当每个产品

时，元素x1，...，xn将成为子组的代表

x _i * x _j ^-1 其中（i！= j）

不在子组中。

这种类型的检查似乎比生成所有陪集更简单，并且计算速度更快。