Question

我正在阅读Mark Allen Weiss撰写的关于数据结构和算法的书中的一章。这是文本片段。

令D（n）为n个节点的某些树T的内部路径长度。 d（1）   n节点树由i节点左子树和a（n - i组成）组成    - 1） - 节点右子树，加上深度为零的根，0 <= i <1。 ñ。 d（I）   是左子树的内部路径长度   根。在主树中，所有这些节点都更深一层。相同   适用于正确的子树。因此，我们得到了复发

D（n）= D（i）+ D（n-i-1）+ n-1

如果所有子树大小都同样可能，二进制就是如此   搜索树（因为子树大小仅取决于相对等级   插入树中的第一个元素，但不是二叉树，   然后D（i）和D（n - i -1）的平均值是（1 / n）和   j = 0到n-1的D（j）。这会产生

D（n）=（2 / n）（D（j）的j = 0到n-1之和）+（n-1）。

上述重现获得D（n）= O（nlogn）的平均值。

以下是我对上述文字摘要的问题。

作者的意思是“因为子树大小仅取决于插入树中的第一个元素的相对等级”？
作者如何从D（n）获得平均值O（nlogn）？任何人都可以告诉我实现上述结果所涉及的步骤吗？

谢谢！

Answer 1

关于您的第一点：

在二叉树中，左子树的大小对应于小于根的元素的数量，右子树的大小对应于大于根的元素的大小。

因此，子树大小仅取决于插入的第一个元素的相对等级。

关于你的第二点我没有解决方案，但我会这样开始：

您可以先转换总和：

你知道sum(j=0 to n, of j ) = n*(n-1)/2

然后n-1 = 2/n*sum(j=0 to n-1, of 1 ) +2/n*n = 2/n*sum(j=0 to n-1, of j ) + 2

从D(n) = (2/n)(sum from j = 0 to n-1 of D(j)) + (n-1)开始，您将获得新的公式

D(n) = (2/n)(sum from j = 0 to n-1 of (D(j) + j)) + 2 (1)

现在您可以用Dn-1表示Dn

你会发现（如果我是对的）：

D(n)= (n+1)/n*D(n-1) + 2  (2)

然后尝试将Dn表示为n * Sum（1 / k），相当于nln（n）......

从上面的公式（2）得到（你可以尝试写）：

D(n) = n+1 * SUM( 2 /k for k=1 to n) +2 ... which is a O(n ln(n))

告诉我你是否对此证明有更多疑问

希望有所帮助

编辑：详情（2）

D(n) = (2/n)(sum from j = 0 to n-1 of (D(j) + j)) + 2

=> D(n) = (2/n)(sum from j = 0 to n-2 of (D(j) + j)) + 2 + (2/n)*(D(n-1)+n-1)

=> D(n) = ((n-1)/n)* [ 2/(n-1) *(sum from j = 0 to n-2 of (D(j) + j)) + 2]  + 2 + (2/n)*D(n-1)

note: the +2 between the brackets comes  from (2/n)*(D(n-1)+n-1) =  (2/n)*D(n-1) + 2 *(n-1)/n

between the brackets [] you have D(n-1) then :

=>  D(n) = ((n-1)/n)* D(n-1)  + 2 + (2/n)*D(n-1)

=> D(n) = (n+1)/n*D(n-1) + 2

二叉搜索树内部路径长度分析

1 个答案: