Question

在这个游戏中：http://www.mathsisfun.com/games/allout.html 无论您如何“滥用”原始板，解决功能都可以解决任何情况。请告诉我解决这个游戏的算法。我试着思考了几天，但仍然没有找到解决所有案例的线索。

好的，在阅读了一些答案和评论后（并快速浏览一下Light out游戏），我扩展了我的问题：

如果我扩大网格的大小（比如25x25），游戏会有所不同吗？还有任何可能的算法来解决任何情况，在可接受的时间内（＆lt; 2s）？

Answer 1

这款游戏通常被称为Lights Out，并且拥有许多优雅的解决方案，所有解决方案都基于一些标准但有些高级的数学。我不会在这里描述它们，但如果你有点谷歌，你可以找到各种解释，从简单的程序到转换成线性代数或群论。一些链接：

http://www.hamusutaa.com/pilot/solution.html

http://www.ripon.edu/academics/macs/summation/2010/articles/M.%20Madsen%20-%20Lights%20Out.pdf

http://people.math.sfu.ca/~jtmulhol/math302/notes/24-Lights-Out.pdf

编辑：Re：你的第二个问题。我发布的第二个链接中提供的算法可以在O（n ^ 6）时间内解决n x n板，这意味着您应该能够快速求解25 x 25板。

Answer 2

有一种众所周知的方法可以解决这个问题。设x_1，...，x_n是对应于是否按下第n个按钮作为解决方案的一部分的变量，并让a_1，...，a_n为初始状态。

假设您正在解决3x3问题，并且变量设置如下：

x_1 x_2 x_3
x_4 x_5 x_6
x_7 x_8 x_9

，这个初始状态是：

a_1 a_2 a_3
a_4 a_5 a_6
a_7 a_8 a_9

现在，您可以写下解决方案必须满足的一些方程式（在算术模2中）。它基本上编码了关于哪些开关导致特定灯光切换的规则。

a_1 = x_1 + x_2 + x_4
a_2 = x_1 + x_2 + x_3 + x_5
...
a_5 = x_2 + x_4 + x_5 + x_6 + x_8
...
a_9 = x_6 + x_8 + x_9

现在你可以使用高斯消元法来解决这组联立方程。因为你在算术模2中工作，它实际上比实数上的联立方程更容易。例如，要摆脱第二个等式中的x_1，只需将第一个等式添加到其中即可。

a_1 + a_2 = (x_1 + x_2 + x_4) + (x_1 + x_2 + x_3 + x_5) = x_3 + x_4 + x_5

具体来说，这是算术模2中的高斯消元算法：

选择一个带有x_1的等式。将其命名为E_1。
将E_1添加到其他每个未命名的等式中，其中包含x_1。
重复x_2，x_3，....，x_n。

现在，E_n是仅包含x_n的等式。您可以将从此处获得的x_n值替换为先前的等式。重复E_ {n-1}，...，E_1。

总的来说，这解决了O（n ^ 3）操作中的问题。

这是一些代码。

class Unsolvable(Exception):
    pass

def switches(vs):
    n, m = len(vs), len(vs[0])
    eqs = []
    for i in xrange(n):
        for j in xrange(m):
            eq = set()
            for d in xrange(-1, 2):
                if 0 <= i+d < n: eq.add((i+d)*m+j)
                if d != 0 and 0 <= j+d < m: eq.add(i*m+j+d)
            eqs.append([vs[i][j], eq])

    N = len(eqs)
    for i in xrange(N):
        for j in xrange(i, N):
            if i in eqs[j][1]:
                eqs[i], eqs[j] = eqs[j], eqs[i]
                break
        else:
            raise Unsolvable()
        for j in xrange(i+1, N):
            if i in eqs[j][1]:
                eqs[j][0] ^= eqs[i][0]
                eqs[j][1] ^= eqs[i][1]

    for i in xrange(N-1, -1, -1):
        for j in xrange(i):
            if i in eqs[j][1]:
                eqs[j][0] ^= eqs[i][0]
                eqs[j][1] ^= eqs[i][1]
    return [(i//m,i%m) for i, eq in enumerate(eqs) if eq[0]]

print switches(([1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1], [0, 0, 0]))

您一次给它一个初始状态。它会返回您需要按下的开关以关闭所有灯。

这解决了我的笔记本电脑上不到半秒的50x50问题。

Answer 3

与大多数AI“游戏”问题一样，有一种通用方法：

实现树结构，其中每个节点都是游戏状态，状态子节点表示这些状态之间的转换。

要么将其作为广度优先搜索（深度优先，如果您记录过所见过的状态并拒绝重新访问它们，并且您不关心找到最佳解决方案）或者出现使用乐观的启发式，允许您使用A *。我能想到的一个非常糟糕的启发式是“需要翻转才能赢得拼图的圆圈数除以5”。我不确定是否有更好的;我有兴趣听听人们对此的意见（请注意，它必须是乐观的，也就是说，启发式方法永远无法计算所需的移动次数。）

进入更多细节有点傻，因为这是一个很大的话题，除此之外，如果你知道如何进行广度优先搜索或A *，这很简单。

“Flip all”（Light Out）游戏的任何算法？

3 个答案: