如何使DifferenceRoot和RecurrenceTable对非数字差分方程有用？

Question

今天早上回答a physics forum question时，我遇到了DifferenceRoot和RecurrenceTable非常糟糕的表现，而通过天真地采用指数生成函数的导数来计算表达式。极少量的挖掘表明DifferenceRoot和RecurrenceTable 不会简化表达式。

例如，查看RecurrenceTable的以下输出以及仅通过Expand结果简化它的方式：

In[1]:= RecurrenceTable[f[n] == a f[n - 1] + (a - 1) f[n - 2] && 
                        f[0] == 0 && f[1] == 1, 
                        f, {n, 6}]
% // Expand

Out[1]= {0, 1, a, -1+a+a^2, -a+a^2+a (-1+a+a^2), 1-a-a^2+a (-1+a+a^2)+a (-a+a^2+a (-1+a+a^2))}
Out[2]= {0, 1, a, -1+a+a^2, -2 a+2 a^2+a^3, 1-2 a-2 a^2+3 a^3+a^4}

这很快失控，因为第20次迭代的叶数（使用DifferenceRoot计算）显示：

dr[k_] := DifferenceRoot[Function[{f, n}, 
          {f[n] == a f[n - 1] + (a - 1) f[n - 2], f[0] == 0, f[1] == 1}]][k]

In[2]:= dr20 = dr[20]; // Timing
        dr20Exp = Expand[dr20]; // Timing
Out[2]= {0.26, Null}
Out[3]= {2.39, Null}

In[4]:= {LeafCount[dr20], LeafCount[dr20Exp]}
Out[4]= {1188383, 92}

可与memoized实施

进行比较

In[1]:= mem[n_] := a mem[n-1] + (a-1) mem[n-2] // Expand
        mem[0] = 0; mem[1] = 1;

In[3]:= mem20 = mem[20];//Timing
        LeafCount[mem20]
Out[3]= {0.48, Null}
Out[4]= 92

所以我的问题是： 是否有任何选项/技巧可以使DifferenceRoot和RecurrenceTable应用（简化）函数，从而使它们对非数字工作有用？

编辑：Sjoerd在下面指出，我愚蠢地选择了一个带有RSolve封闭式解决方案的示例。在这个问题中，我主要关注DifferenceRoot和RecurrenceTable的行为。如果有帮助，请假设f[n-2]字词乘以n，因此没有简单的封闭形式解决方案。

Answer 1

我无法真正帮助解决您的问题，因为直到现在我还没有使用过这些功能，而且文档也没有提供任何线索。但为什么不在这里使用RSolve？它为每个表的元素提供了一个封闭形式的解决方案：

sol = f /. RSolve[f[n] == a f[n - 1] + (a - 1) f[n - 2] && 
                  f[0] == 0 && f[1] == 1, f, n
           ][[1, 1]]

sol@Range[6] // Simplify