最接近格点型问题

Question

我似乎无法找到解决此问题的方法。设Z ^ 2为R ^ 2中的整数点阵。给定有理射线（意味着具有合理斜率的矢量），是否存在根据正交距离计算到该矢量的最接近晶格点的快速方法？这种方法可以推广到R ^ n中的超平面吗？

Answer 1

您的问题似乎没有明确定义。你如何定义向量的距离？ 如果你要求从格子到方向是有理向量的线的最近距离（如你的推广所示）那么答案是零，这要归功于合理性：你的方向是D =（n1 / d1，n2 / D2）。然后，点（d2 * n1，d1 * n2）在线上。

对于最小的非零距离：

我们可以假设d1 = d2 = d：D =（n1 / d，n2 / d）（可以通过设置例如d = d1 * d2得到）。现在，从单位网格到线的可能距离的形式为（Z * n1 + Z * n2）/ d =（Z * gcd（n1，n2））/ d，其中Z是整数集。 （这是Bézout定理的结果）。所以最小非零距离是gcd（n1，n2）/ d，其中gcd（。，。）给出两个整数的最大公约数。