在heapify上更紧密的绑定

Question

我想使用siftdown方法计算heapify上更严格的限制，所以我按如下方式进行：

在每个级别i，在最坏的情况下，该级别上的每个键都可以转到叶级h（其中h是树的高度）。
由于在i级有2个 ⁱ 节点，所以完成的工作总数为

Σ_0≤i≤h（h - i）* 2 ⁱ

但我无法继续前进。我知道它必须来O（n），但我无法达到它。请帮我解决这个问题。

Answer 1

S =Σ_0≤i≤h（h - i）* 2 ⁱ

S = h + 2（h - 1）+4（h - 2）+ ... + 2 ^{h - 1} ......（1）

将两边乘以2，

2S = 2h + 4（h - 1）+ 8（h - 2）+ ... + 2 ^h ...（2）

从（2）中减去（1），

S = h -2h + 2 + 4 + 8 + .... + 2 ^h

= -h - 1 +（1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 ^h ）

=（2 ^{h + 1} -1） - （h + 1）

[注：1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 ^h =（2 ^{h + 1} - 1）

由于高度为h的完整二叉树在2h到2h + 1个节点之间，因此上述总和为O（n），其中n是堆中节点的数量。

Answer 2

如果不是从i从顶部开始运行，那么从底部算起来会更容易一些。因此，如果我们说i是从底部开始的高度，我们会将您的总和转换为：

Σi* 2 ^h-i

= 2 ^h *Σi/ 2 ⁱ

= 2 ^h * O（1）

= O（2 ^logn ）= O（n）

我用log交换了h，因为这是一个二进制堆。

我会证明为什么这笔钱是O（1）：

和是i / 2 ⁱ 项的有限和，所以如果我们显示无穷和（i - >无穷大）的收敛，那么显然每个有限和（即所有n）总和小于该值（因为所有项都是正数）。意味着每个有限和由一个常数界定，即O（1）。

我们只剩下无限Σi/ 2 ⁱ 收敛的证明。我们可以使用无数的收敛性测试，让我们使用Σ1/ i ² 收敛的简单结果，并表明对于足够大的i，我们的总和将上限：

我们希望展示足够大的i：

i / 2 ⁱ ＆lt; 1 / I ²

发生iff i ³ ＆lt; 2 ⁱ ，例如，i＆gt; 10

QED