使用2“浮动”模拟“双”

Question

我正在编写一个仅支持32位单精度浮点运算的嵌入式硬件程序。但是，我实现的算法需要64位双精度加法和比较。我试图使用两个double的元组模拟float数据类型。因此，double d将被模拟为包含元组的struct：(float d.hi, float d.low)。

使用词典排序，比较应该是直截了当的。然而，添加有点棘手，因为我不确定应该使用哪个基数。它应该是FLT_MAX吗？我怎样才能检测到携带？

如何做到这一点？

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编辑（清晰度）：我需要额外的有效数字，而不是额外的范围。

Answer 1

double-float是一种技术，它使用单精度数对，几乎达到单精度算术精度的两倍，同时略微降低单精度指数范围（由于中间下溢和远端溢出）范围）。基本算法由T.J.开发。 Dekker和William Kahan在20世纪70年代。下面我列出了两篇最近的论文，展示了这些技术如何适应GPU，但是这些论文中涵盖的大部分内容都适用于独立于平台，因此应该对手头的任务有用。

http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/06/33/56/PDF/float-float.pdf GuillaumeDaGraça，David Defour 在图形硬件上实现float-float操作符， 第7届实数和计算机会议，RNC7。

http://andrewthall.org/papers/df64_qf128.pdf 安德鲁塔尔 用于GPU计算的扩展精度浮点数。

Answer 2

这并不简单。

浮点数（IEEE 754单精度）有1个符号位，8个指数位和23位尾数（好吧，实际上是24位）。

双精度（IEEE 754双精度）有1个符号位，11个指数位和52位尾数（实际上是53位）。

您可以使用其中一个浮点数的符号位和8个指数位，但是如何从另一个浮点数中获得3个指数位和29位尾数？

也许其他人可以想出一些聪明的东西，但我的回答是“这是不可能的”。 （或者至少，“不比使用64位结构和实现自己的操作更容易”）

Answer 3

这取决于您想要执行的操作类型。如果您只关心加法和减法，Kahan Summation可能是一个很好的解决方案。

Answer 4

如果您需要精度和宽范围，则需要双精度浮点的软件实现，例如SoftFloat。

（另外，基本原则是将每个值的表示（例如64位）分成三个组成部分 - 符号，指数和尾数;然后根据指数的差异移动一个部分的尾数，基于符号位添加或减去其他部分的尾数，并可能通过移动尾数并相应地调整指数来重新规范化结果。一路上，有很多细节需要考虑，以便避免不必要的准确性损失，并处理特殊值，如无穷大，NaN和非规范化数字。）

Answer 5

这不实用。如果是这样，每个嵌入式32位处理器（或编译器）都会通过这样做来模拟双精度。就目前而言，没有人知道。他们中的大多数只是将float替换为double。

如果您需要精确度而不是动态范围，最好的选择是使用固定点。如果编译器支持64位，这也会更容易。

Answer 6

考虑到23个以上高精度的所有约束，我认为最有效的方法是实现自定义算术包。

快速调查显示，Briggs的 doubledouble C ++库应该满足您的需求，然后是一些。请参阅this。[*]默认实现基于double以实现30个有效数字计算，但很容易重写以使用float来实现13或14个有效数字。如果注意将加法操作与相似的幅度值分开，那么这可能足以满足您的要求，只在最后的操作中将极值加在一起。

请注意，注释提到了x87控制寄存器。我没有查看详细信息，但这可能会使代码太不便于您使用。

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[*]该文章链接了C ++源代码，但只有gzipped tar不是死链接。

Answer 7

另一种可能有用的基于软件的解决方案：GNU MPFR
它会处理许多其他特殊情况，并且允许您以其他方式处理自己的任意精度（优于64位双精度）。

Answer 8

这类似于double-double arithmetic的许多编译器在仅具有硬件double计算支持的某些计算机上使用的long double。它也被用作旧版NVIDIA GPU上的浮动浮动，没有double支持。见Emulating FP64 with 2 FP32 on a GPU。这样计算将比软件浮点库快得多。

然而，在大多数微控制器中，float没有硬件支持，所以它们纯粹是用软件实现的。因此，使用float-float可能不会提高性能并引入一些内存开销来保存指数的额外字节。

如果您确实需要更长的尾数，请尝试使用自定义浮点库。您可以选择适合您的任何内容，例如，如果只需要40位尾数和7位指数，则更改库以适应您自己的新48位浮点类型。无需再花时间计算/存储不必要的16位。但是这个库应该非常高效，因为编译器的库通常对它们自己的float类型进行汇编级优化。