我怎样才能解决这个递归关系

Question

我有一个递归关系：

我把它变成了

如何证明T(n)属于BigOmega(2^n)

Answer 1

那么让我们看看T(n) = 2 * T(n - 1) + T(n/2) + 1/2。

让我们将其与去除较小项的递推关系进行比较：

S(n) = 2 * T(n - 1)

我们显然可以看到

T(n) = Ω(S(n))

所以只需要证明 S(n) = Ω(2ⁿ)。

让我们展开S(n)：

S(n) = 2 * T(n - 1)

= 2 * 2 * T(n - 2)

= 2 * 2 * 2 * T(n - 3)

我们注意到我们得到 2 * 2 * ... * 2 = 2ⁿ。

因此，S(n) = Ω(2ⁿ) 因此 T(n) = Ω(S(n)) = Ω(2 ⁿ)。 □