给定顶点的位置和表面法线。如何计算两个三角形接触的面积(可能为 0)?这些三角形也在 3D 空间中,因此如果它们没有正确排列,只是相互卡住,则接触面积应为 0。 (在 C# 中)
答案 0 :(得分:2)
这不是一个小问题,所以让我们把它分解成几个步骤。
要使两个三角形共面,一个三角形的所有顶点必须位于另一个三角形确定的平面内。
使用 here 描述的算法,我们可以检查每个顶点是否是这种情况,但由于浮点数不是完全精确的事实,您需要定义一些误差阈值来确定仍然是什么算作共面。
假设 va
和 vb
分别是三角形 A 和 B 的向量,代码可能如下所示。
(注意:我从来没有使用过 Unity,所有代码都是凭记忆编写的,所以如果不是 100% 正确,请原谅)。
public static bool AreTrianglesCoplanar(Vector3[] va, Vector3[] vb) {
// make sure these are actually triangles
Debug.Assert(va.Length == 3);
Debug.Assert(vb.Length == 3);
// calculate the (scaled) normal of triangle A
var normal = Vector3.Cross(va[1] - va[0], va[2] - va[0]);
// iterate all vertices of triangle B
for(var vertex in vb) {
// calculate the dot product between the normal and the vector va[0] --> vertex
// the dot product will be 0 (or very small) if the angle between these vectors
// is a right angle (90°)
float dot = Vector3.Dot(normal, vertex - va[0]).
// the error threshold
const float epsilon = 0.001f;
// if the dot product is above the threshold, the vertex lies outside the plane
// in that case the two triangles are not coplanar
if(Math.Abs(dot) > epsilon)
return false;
}
return true;
}
我们现在知道所有六个顶点都在嵌入到 3D 空间的同一个 2D 平面中,但我们所有的顶点坐标仍然是 3 维的。所以下一步是将我们的点投影到一个 2D 坐标系中,这样它们的相对位置就被保留了。
This answer 很好地解释了数学。
首先,我们需要找到一组三个向量组成的正交基(它们必须彼此正交且长度为 1)。
va[0]
到 va[1]
的向量)并对其进行归一化。 我们还需要选择平面中的一个点作为我们的原点,例如 va[0]
。
使用所有这些参数,并使用链接 amswer 中的公式,我们可以确定我们新的投影 (x, y) 坐标(来自另一个答案的 t_1
和 t_2
)。请注意——因为我们所有的点都位于定义该法向量的平面内——第三个坐标(在另一个答案中称为 s
)将始终(接近)零。
public static void ProjectTo2DPlane(
Vector3[] va, Vector3[] vb
out Vector2[] vaProjected, out Vector2[] vbProjecte
) {
// calculate the three coordinate system axes
var normal = Vector3.Cross(va[1] - va[0], va[2] - va[0]).normalized;
var e1 = Vector3.Normalize(va[1] - va[0]);
var e2 = Vector3.Cross(normal, e1);
// select an origin point
var origin = va[0];
// projection function we will apply to every vertex
Vector2 ProjectVertex(Vector3 vertex) {
float s = Dot(normal, vertex - origin);
float t1 = Dot(e1, vertex - origin);
float t2 = Dot(e2, vertex - origin);
// sanity check: this should be close to zero
// (otherwise the point is outside the plane)
Debug.Assert(Math.Abs(s) < 0.001);
return new Vector2(t1, t2);
}
// project the vertices using Linq
vaProjected = va.Select(ProjectVertex).ToArray();
vbProjected = vb.Select(ProjectVertex).ToArray();
}
健全性检查:
va[0]
应投影到 (0, 0)。va[1]
应该被投影到 (*, 0),所以在新的 x 轴上的某个地方。This answer 这个答案提到了最后一步所需的算法。
Sutherland-Hodgman algorithm 连续剪裁一个三角形的每一边。其结果将是三角形、四边形或空多边形。
最后,shoelace formula 可用于计算生成的裁剪多边形的面积。
假设您实现了两个函数 CalculateIntersecionPolygon
和 CalculatePolygonArea
,最终的交叉区域可以这样计算:
public static float CalculateIntersectionArea(Mesh triangleA, Mesh triangleB) {
var verticesA = triangleA.GetVertices();
var verticesB = triangleB.GetVertices();
if(!AreTrianglesCoplanar(verticesA, verticesB))
return 0f; // the triangles are not coplanar
ProjectTo2DPlane(verticesA, verticesB, out Vector2[] projectedA, out Vector2[] projectedB);
CalculateIntersecionPolygon(projectedA, projectedB, out List<Vector2> intersection);
if(intersection.Count == 0)
return 0f; // the triangles didn't overlap
return CalculatePolygonArea(intersection);
}