Python：来自概率密度函数数组的归一化累积分布函数

Question

对于连续变量 x 及其概率密度函数 p(x)，我有一个 x 值的 numpy 数组 x 和相应 p(x) 值的 numpy 数组 p。 p(x) 没有标准化，即在 p(x) 对 x 的图中，图形下的面积不是 1。我想计算累积分布函数 cdf 的值的相应数组。这就是我目前的做法，使用梯形规则来近似积分：

p_norm = p/np.trapz(p,x)
cdf = np.array([np.trapz(p_norm[:n],x[:n]) for n in range(len(p_norm))])

结果并不完全准确； cdf 的最终值接近 1 但不完全是 1。

是否有更准确、更简单的方法来规范化 p 并找到 cdf？我认为在某些模块中可能有特定的功能；也许是一个面向统计的模块，具有相关参数（方差、置信区间等）的功能？

Answer 1

离散数据点的积分方法

变量 x 仅在您有连续函数形式时才是连续的。如果你有一个 几个离散值（如果你要制作一个离散值的 numpy 数组，就会这样），然后 数组不再连续，因为它无法解析两个连续离散之间的点 x 的值。

因此，假设您实际上拥有 x 和 p 的离散数据点数组，这里 是我的建议。

先熟悉几种数值积分的方法

• Newton-Cotes Formulas | 代码：scipy.integrate.newton_cotes

  这是包含使用 n 点积分的通用规则。如果我们将n点公式表示为：newton-cotes(n)，则

  • Trapezoidal Rule：n = 2 | 代码：scipy.integrate.trapezoid

  • Simpson's Rule：n = 3 | 代码：scipy.integrate.simpson

  • Simpson's 3/8 Rule：n = 4

  • Boole's Rule：n = 5 | 代码：有关想法，请参阅 this。

• Weddle's Rule

• Hardy's Rule

1.使用 scipy.integrate

集成

您可以使用“给定固定样本的积分函数的方法”下列出的任何方法。

INSIGHT 这里重要的是：在trapezoidal rule你 interpolate 使用 straight line 表示连续两点之间的空间。如果你可以 使用更高阶的多项式（阶 ~ 2、3、4 等）然后可以为您提供更好的结果 一体化。辛普森规则使用二阶多项式 Simpson's Rule - Wolfram MathWorld。

<头>

辛普森法则：使用二次多项式对曲线下的面积进行积分	展示辛普森法则如何应用于整合的动画

^{来源：Wikipedia}

给定固定样本的函数积分方法

   trapezoid            -- "Use trapezoidal rule to compute integral."
   cumulative_trapezoid -- "Use trapezoidal rule to cumulatively compute integral."
   simps                -- "Use Simpson's rule to compute integral from samples."
   romb                 -- "Use Romberg Integration to compute integral from
                           (2**k + 1) evenly-spaced samples."

? 另请参阅此示例：Calculating the area under a curve given a set of coordinates, without knowing the function。

2.曲线下面积 (AUC) 使用 sklearn.metrics.auc

积分本质上是曲线下的面积 (AUC)。 Scikit-learn 库提供了一个简单的 替代计算 AUC。在实践中，这也使用梯形规则，所以，我做 看不到任何理由为什么这应该与您已经拥有的有任何/很大不同 使用 numpy.trapz。

• 文档 - sklearn.metrics.auc
• 示例：auc = sklearn.metrics.auc(x, y)

3.考虑使用其他方法

3.1. Romberg 集成

scipy.integrate.romb(y, dx=1.0, axis=- 1, show=False)

• 文档：scipy.integrate.romb
• 什么是 Romberg 方法？
  • Wikipedia
  • Romberg 集成背后的数学原理：PDF
  • YouTube 视频：Numerical Integration - Romberg Integration - example

参考文献

• Boole's rule for N intervals (C)
• https://readthedocs.org/projects/mec-cs101-integrals/downloads/pdf/latest/