Question

我有很多大的（大约5000 x 5000）矩阵，我需要在Matlab中反转。我实际上需要逆，所以我不能使用mldivide，这对于解决Ax = b只需要一个b来快得多。

我的矩阵来自一个问题，这意味着他们有一些不错的属性。首先，他们的决定因素是1，所以他们肯定是可逆的。但它们不是可对角化的，或者我会尝试对它们进行对角化，将它们反转，然后将它们放回去。他们的条目都是实数（实际上是理性的）。

我正在使用Matlab来获取这些矩阵，对于这些东西，我需要对它们的反转进行处理，所以我更喜欢一种方法来加速Matlab。但是，如果有另一种语言，我可以使用它会更快，那么请让我知道。我不知道很多其他语言（一点点但只有C和一点点但是Java），所以如果它在其他语言中真的很复杂，那么我可能无法使用它。不过，请继续提出建议，以防万一。

Answer 1

我实际上需要逆，所以我不能使用mldivide，...

这不是真的，因为你仍然可以使用mldivide得到逆。请注意A^-1 = A^-1 * I。在MATLAB中，这相当于

invA = A\speye(size(A));

在我的机器上，5000x5000矩阵大约需要10.5秒。请注意，MATLAB确实具有inv函数来计算矩阵的逆矩阵。虽然这将花费大约相同的时间，但在数值准确性方面效率较低（链接中的更多信息）。

首先，他们的决定因素是1，所以他们肯定是可逆的

而不是det(A)=1，而condition number of your matrix决定了逆的准确性或稳定性。请注意det(A)=∏_i=1:n λ_i。因此，只需设置λ₁=M，λ_n=1/M和λ_i≠1,n=1即可获得det(A)=1。但是，如M → ∞，cond(A) = M² → ∞和λ_n → 0，意味着您的矩阵接近奇点，并且在计算逆矩阵时会出现大的数值误差。

我的矩阵来自一个问题，这意味着它们有一些不错的属性。

当然，如果您的矩阵稀疏或具有其他有利属性，还可以使用其他更有效的算法。但是没有任何关于你的具体问题的额外信息，没有什么可以说的了。

我更喜欢一种加速Matlab的方法

MATLAB使用高斯消元来计算使用mldivide的一般矩阵（完全秩，非稀疏，没有任何特殊属性）的逆矩阵，这是Θ(n³)，其中n是矩阵的大小。因此，在您的情况下，n=5000并且有1.25 x 10¹¹个浮点运算。因此，在具有大约10 Gflops计算能力的合理计算机上，您将需要至少12.5秒来计算逆，除非您利用“特殊属性”（如果它们可被利用），则无法解决这个问题。）

Answer 2

无论使用何种语言，反转任意5000 x 5000矩阵在计算上都不容易。我建议调查近似值。如果您的矩阵是低等级的，您可能想要尝试低等级近似M = USV'

以下是来自数学溢出的更多想法：

https://mathoverflow.net/search?q=matrix+inversion+approximation

Answer 3

首先假设特征值都是1。让A成为矩阵的Jordan规范形式。然后，您可以仅使用矩阵乘法和

添加来计算A^{-1}

A^{-1} = I + (I-A) + (I-A)^2 + ... + (I-A)^k

其中k < dim(A)。为什么这样做？因为生成函数很棒。回想一下扩展

(1-x)^{-1} = 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ...

这意味着我们可以使用无限和来反转(1-x)。您想要反转矩阵A，因此您想要

A = I - X

求解X会给X = I-A。因此，通过替换，我们有

A^{-1} = (I - (I-A))^{-1} = 1 + (I-A) + (I-A)^2 + ...

在这里，我刚刚使用了身份矩阵I来代替数字1。现在我们有收敛的问题，但这实际上不是问题。假设A是约旦形式并且所有特征值都等于1，我们知道A是上三角形，对角线上的所有1 s。因此I-A是上三角形，对角线上的所有0 s。因此I-A的所有特征值都是0，因此对于某些x^dim(A)，其特征多项式为x^{k+1}，其最小多项式为k < dim(A)。由于矩阵满足其最小（和特征）多项式，这意味着(I-A)^{k+1} = 0。因此，上述序列是有限，最大非零项为(I-A)^k。所以它收敛了。

现在，对于一般情况，将矩阵放入Jordan格式，这样就有了一个块三角矩阵，例如：

A 0 0
0 B 0
0 0 C

每个块沿对角线具有单个值。如果a的值为A，则使用上述技巧反转1/a * A，然后再将a相乘。由于全矩阵是块三角形，因此逆是

A^{-1} 0      0
0      B^{-1} 0
0      0      C^{-1}

拥有三个街区并没有什么特别之处，所以无论您拥有多少街区，这都有效。

请注意，只要您拥有Jordan格式的矩阵，此技巧就可以使用。在这种情况下，逆向计算将在Matlab中非常快，因为它只涉及矩阵乘法，你甚至可以使用技巧来提高速度，因为你只需要单个矩阵的幂。但是，如果将矩阵变成Jordan形式真的很昂贵，这可能对你没有帮助。

有没有一种快速的方法来反转Matlab中的矩阵？

3 个答案: