匈牙利算法（也是Munkres的分配算法）

Question

我最近偶然发现this algorithm并且很难向自己解释。该算法解决了O {n ⁴ 中的assignment problem（显然可以改进为O（n ³ ））但我不明白为什么。

直观地我可以看到算法倾向于找到优秀的解决方案，但我看不到证据！到目前为止，我看到的所有证据都包含我不熟悉的符号。我的问题是：任何人都可以严格解释它吗？

我已经理解，问题可以转移到值矩阵中，其中每行和每列中只需要选择一个值。可能的最小值（来自所选元素）以及产生该值的选择是算法计算的值。显然，找到选择也会找到最小值。

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我正在努力的部分，符号明智，是here。 设置部分中的第三段开头“让我们调用一个函数”......

Answer 1

您链接到的Wikipedia page有关于如何在矩阵上手动执行此算法的步骤。 python implementation也使用矩阵。有时，了解算法的唯一方法是手动或在交互式控制台中逐步执行。

Answer 2

你可以查看Jungnickel的这个book，其中包含从第421页开始的匈牙利算法的全面理论讨论，但也是一个例子。通过这个例子，你应该能够看到为什么算法是O（n3））。

Answer 3

对于S和T中的每个位置，如果y和i在y处的y一起小于到目前为止为该位置计算的成本（找到最低潜在答案），则表示S和T值中的y是潜在答案。

如果我没记错的话，这是一个动态编程问题。一个完美的匹配将是那个最便宜的比率恰好是他被选中的人。

Answer 4

该函数将图中的每个顶点映射到有理数字系统，这是U形符号所表示的S和T的并集，该有理数系统是由给定对的不等式Q表示的。顶点。那个符号的哪一部分仍然没有意义？

Answer 5

势函数y为你的完整二分图中的每个顶点指定一个数字，即从S（所有人的集合）和T的任何顶点（所有人的集合）的任何顶点的潜力之和jobs）小于连接这些顶点的边缘的值（因此小于执行作业的人的成本）。为每个顶点指定0的函数是有效潜在函数的一个很好的例子。

潜在y的值是所有顶点的电位之和（这是定义）。

  

可以看出，每次完美匹配的成本至少是每种潜力的价值。

这是相当明显的：在完美匹配中，你必须选择没有共同顶点的n条边。每个边缘的成本低于其顶点的潜力之和（来自潜在的定义）。当您对匹配中所有边的成本求和时，它将高于图的潜在值。

现在，算法计算潜力和匹配，使得它们的成本/值相同。由于潜在价值是问题最小成本的下限，因此您可以获得最佳解决方案。

这证明了算法。现在你需要看一下它，理解为什么以及如何找到一个完美的匹配和一个具有相同成本/价值的潜力。