Question

任何人都可以解释算法，以便在仅使用单个堆栈时生成可能的排列，并且push和pop是唯一允许的操作。已经搜索了很多，但没有明确的答案。此类排列的总数也由加泰罗尼亚数字给出。但我没有得到证据。如果可能的话，请解释一下。

谢谢！

Answer 1

此问题使用输入队列和输出队列以及堆栈。

操作是“将项目从输入队列推送到堆栈”和“将项目从堆栈弹出到输出队列”。

                  1 2 3
output  ______   ______  input  
              \ /
        <--+   |   +---
       pop |   |   | push
           |   |   v

             stack

例如，使用输入1 2 3，您可以按以下顺序获取输出2 1 3：

将1从输入推送到堆栈
将2从输入推送到堆栈
从堆栈弹出2到输出
从堆栈弹出1到输出
将3从输入推送到堆栈
从堆栈弹出3到输出

但是如果你尝试生成3 1 2，那么你会很难。

如何生成这些操作可能产生的所有排列？好吧，递归执行是微不足道的：在任何给定状态（“状态”由输入队列，堆栈和输出队列的内容组成）中，最多可以执行两种可能的操作（可以推送）如果输入队列中至少有一个项目;如果堆栈中至少有一个项目，则可以弹出），这将为您提供最多两个可供探索的新状态。

关于这个问题以及与加泰罗尼亚语数字的关系的进一步细节，去找一份Knuth的“计算机程序设计的艺术”，第1卷（第3版） - 它在§2.2.1中讨论过;请参阅第242-243页的练习2 - 5（以及第240页的更好的图表版本！）。

Answer 2

首先，在以下假设下，不可能为任意排列编写算法来执行此操作：

您只能按顺序读取输入内容。
类似地顺序写入输出，写入输出的数据一旦写入就无法读取。
除了一个堆栈，您只能获得恒定的内存量。（这意味着没有额外的递归或数据结构）。

这是无上下文语言的泵浦引理的结果：

维基：http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_context-free_languages

（或者还要检查：Michael Sipser（1997）。计算理论导论。我相信这是第4章的练习之一。）

现在，您可以轻松实现一种算法，通过破坏这些假设中的任何一个来解决此问题。例如，如果您可以任意读取输入，那么您不需要堆栈：

def permute(seq, permutation):
    result = []
    for i in permutation:
        result.push(seq[i])
    return result

或者，如果你修复了一个排列，问题变得有限，你同样不需要堆栈。您只需将通常的算法展开到所有输入的特殊情况（即就像在编译器中进行部分评估一样）。这非常可怕，所以我不打算写出所有的细节，但它仍然有效，因为可能的输入总数是固定的（但很大！）常数。

Answer 3

我正在考虑同样的问题并最终编写了一个小的Prolog程序来生成排列，并“发现”与加泰罗尼亚数字的关系，然后找到了你的问题。所以这不是你问题的真正答案，但这里是Prolog程序：

% Generate permutation counts
count_pushpop(N-K) :-
    length(_, N),
    findall(Seq, pushpop(N, Seq), Seqs),
    length(Seqs, K).


% Create an integer sequence from 1 to N
% and permutate it using all possible push-pop
% operations starting with an empty stack.
pushpop(N, Seq) :-
    numlist(1, N, List),
    pushpop(List, [], Seq).


% Generate all the possible ways a list
% of items can be pushed into a stack
% and poped out of it.
pushpop([], [], []).

pushpop([H | List], Stack, Seq) :-
    pushpop(List, [H | Stack], Seq).

pushpop(List, [H | Stack], [H | Seq]) :-
    pushpop(List, Stack, Seq).

证明并非所有n!排列都是可能的：

?- findall(Seq, pushpop(3, Seq), Seqs).
Seqs = [[3, 2, 1], [2, 3, 1], [2, 1, 3], [1, 3, 2], [1, 2, 3]].

证明它会生成加泰罗尼亚语数字（如果不是堆栈溢出，则将作为证据;））：

?- count_pushpop(N-K).
N = K, K = 0 ;
N = K, K = 1 ;
N = K, K = 2 ;
N = 3,
K = 5 ;
N = 4,
K = 14 ;
N = 5,
K = 42 ;
N = 6,
K = 132 ;
N = 7,
K = 429 ;
N = 8,
K = 1430 ;
N = 9,
K = 4862 ;
N = 10,
K = 16796 ;
N = 11,
K = 58786 ;
N = 12,
K = 208012 ;
ERROR: Out of global stack

使用单个堆栈生成排列

3 个答案: