坚持面试问题......数组的分区

Question

我在互联网上发现了以下问题，并想知道我将如何解决它：

  

问题：没有重新排列的整数分区

     

输入：非负数的排列S {s ₁ ,. 。 。   ，s _n }和一个整数k。

     

输出：将S分区为k个或更少的范围，以最大限度地减少最大值   所有k个或更少范围的总和，   没有重新排序任何   号。*

请帮助，看起来很有趣的问题......我实际上花了很多时间，但没有看到任何解决方案..

Answer 1

让我们尝试使用动态编程解决问题。

注意：如果 k＆gt; n 我们只能使用 n 区间。

当 S = { s ₁ d [i] [j] 是问题的解决方案>，...， s _i }和 k = j 。所以很容易看出：

1. d [0] [j] = 0 每个 j 从 1 到 k
2. d [i] [1] =每个 i的总和（s ₁ ... s _i ） 从 1 到 n
3. d [i] [j] = min _{for t = 1 to i} （max（d [i - t] [j - 1]，sum（s _{i） - t + 1} ... s _i ））i = 1到n，j = 2到k

现在让我们看看为什么会这样：

1. 当序列中没有元素时，很明显只有一个区间（空元素）和元素之和为0.这就是为什么 d [0] [j] = 0 for j 从 1 到 k 。
2. 当只有一个区间时，很明显解是所有序列元素的总和。所以 d [i] [1] = sum（s ₁ ... s _i ）。
3. 现在让我们考虑序列中有 i 元素，区间数是 j ，我们可以假设最后一个区间是（s _{i - t + 1} ... s _i ）其中 t 是不大于 i 的正整数，因此在这种情况下解决方案是 max（d [i - t] [j - 1]，sum（s _{i - t + 1} ... s _i ），但是as我们希望解决方案最小化我们应该选择 t 以使其最小化，因此我们将得到 min _{for t = 1 to i} （max（d [i - t] [j - 1]，sum（s _{i - t + 1} ... s _i ））。

示例：

S =（5,4,1,12），k = 2

d [0] [1] = 0，d [0] [2] = 0

d [1] [1] = 5，d [1] [2] = 5

d [2] [1] = 9，d [2] [2] = 5

d [3] [1] = 10，d [3] [2] = 5

d [4] [1] = 22，d [4] [2] = 12

<强>代码：

#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

int main ()
{
    int n;
    const int INF = 2 * 1000 * 1000 * 1000;
    cin >> n;
    vector<int> s(n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> s[i];
    vector<int> first_sum(n + 1, 0);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        first_sum[i] = first_sum[i - 1] + s[i];
    int k;
    cin >> k;
    vector<vector<int> > d(n + 1);
    for(int i = 0; i <= n; ++i)
        d[i].resize(k + 1);
    //point 1
    for(int j = 0; j <= k; ++j)
        d[0][j] = 0;
    //point 2
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        d[i][1] = d[i - 1][1] + s[i]; //sum of integers from s[1] to s[i]
    //point 3
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 2; j <= k; ++j)
        {
            d[i][j] = INF;
            for(int t = 1; t <= i; ++t)
                d[i][j] = min(d[i][j], max(d[i - t][j - 1], first_sum[i] - first_sum[i - t]));
        }


    cout << d[n][k] << endl;
    return 0;
}

Answer 2

这个问题是从Steven Skiena的书“The Algorithm Design Manual”中逐字记录下来的。您可以在Google Books上阅读详细讨论及其解决方案。更好的是，buy the book。