Question

我正在编写一个蒙特卡罗算法，其中我需要将一个随机变量除以一个点。更确切地说：随机变量用作差商的步长，所以我实际上先将某个乘以变量，然后再将其除以该表达式的某个局部线性函数。像

double f(double);

std::tr1::variate_generator<std::tr1::mt19937, std::tr1::normal_distribution<> >
  r( std::tr1::mt19937(time(NULL)),
     std::tr1::normal_distribution<>(0) );

double h = r();
double a = ( f(x+h) - f(x) ) / h;

这在大多数情况下都可以正常工作，但在h=0时失败。在数学上，这不是一个问题，因为在任何有限（或实际上，可数）的正态分布随机变量的选择中，它们都是非零的概率1.但在数字实现中我会遇到h==0每个≈2³²函数调用（无论mersenne twister的周期比宇宙长，它仍然会输出普通的long！）。

在我正在做的那一刻

时，避免这种麻烦非常简单

double h = r();
while (h==0) h=r();

但我不认为这特别优雅。有没有更好的方法？

<小时/> 我正在评估的功能实际上不仅仅是一个简单的ℝ-＆gt;ℝ像f那样，而是一个ℝᵐxℝⁿ - ＆gt; ℝ我在ℝᵐ变量中计算梯度，同时在ℝⁿ变量上进行数值积分。整个功能叠加了不可预测的（但“连贯的”）噪声，有时具有特定（但未知）的突出频率，当我尝试使用h的固定值时，这会让我陷入麻烦。

Answer 1

你的方式看起来很优雅，也许有点不同：

do {
    h = r();
} while (h == 0.0);

Answer 2

两个正态分布随机变量的比率是Cauchy分布。 Cauchy分布是具有无穷方差的那些讨厌分布之一。确实很讨厌。 Cauchy分布会使你的蒙特卡罗实验变得混乱。

在计算两个随机变量的比率的许多情况下，分母不正常。人们经常使用正态分布来近似这个非正态分布的随机变量，因为

正常分布通常很容易使用，
通常有这么好的数学属性，
正常假设似乎或多或少是正确的，
真正的分布是熊。

假设你除以距离。根据定义，距离是半正定的，并且通常作为随机变量是正定的。因此，直接击球距离永远不会正常分布。尽管如此，在平均值远大于标准偏差的情况下，人们通常会假设距离的正态分布。当做出这个正常假设时，您需要防止那些非实际值。一个简单的解决方案是截断法线。

Answer 3

如果要保留正态分布，则必须排除0或将0分配给新的先前不存在的值。由于第二种很可能在计算机科学的有限范围内是不可能的，所以第一种是我们唯一的选择。

Answer 4

根据您尝试计算的内容，也许这样的事情会起作用：

double h = r();
double a;
if (h != 0)
    a = ( f(x+h) - f(x) ) / h;
else
    a = 0;

如果f是线性函数，那么（我认为？）在h = 0时保持连续。

您可能还想考虑捕获除零异常以避免分支的成本。 请注意，这可能会或可能不会对性能产生不利影响 - 两种方式的基准！

在Linux上，您需要使用-fnon-call-exceptions构建包含潜在除法的文件，并安装SIGFPE处理程序：

struct fp_exception { };

void sigfpe(int) {
  signal(SIGFPE, sigfpe);
  throw fp_exception();
}

void setup() {
  signal(SIGFPE, sigfpe);
}

// Later...
    try {
        run_one_monte_carlo_trial();
    } catch (fp_exception &) {
        // skip this trial
    }

在Windows上，使用SEH：

__try 
{ 
    run_one_monte_carlo_trial();
} 
__except(GetExceptionCode() == EXCEPTION_INT_DIVIDE_BY_ZERO ? 
         EXCEPTION_EXECUTE_HANDLER : EXCEPTION_CONTINUE_SEARCH)
{ 
    // skip this trial
}

这具有可能对快速路径影响较小的优点。虽然可能会对异常处理程序记录进行一些调整，但没有分支。在Linux上，由于编译器为-fnon-call-exceptions生成更保守的代码，因此性能可能会受到很小影响。如果在-fnon-call-exceptions下编译的代码不分配任何自动（堆栈）C ++对象，则这不太可能成为问题。同样值得注意的是，这使得除以的除法发生的情况非常昂贵。

Answer 5

函数（f（x + h）-f（x））/ h的限制为h-> 0，因此如果遇到h == 0，则应使用该限制。限制将是f'（x），所以如果您知道衍生物，您可以使用它。

如果您实际正在做的是创建离散点的数量，尽管它接近正态分布，并且这对于您的分布来说已经足够好了，那么创建它的方式是它们中没有一个实际上具有值0。

如何最有效地防止我的正态分布随机变量为零？

5 个答案: