Question

我必须编写一个程序来查找具有属性的有理数。我写了代码来检查属性，但现在我不知道如何检查所有有理数。我试过

float rat;
for (int i=1 ; i ; ++i) {
  for (int j=1 ; j ; ++j) {
    rat = (float)i/(float)j;
    if goodRat(rat) then return rat;
  }
}

但它永远不会结束！它错过了太多。那么我试过这个

float rat;
while {
  int i = random(1000) + 1;
  int j = random(1000) + 1;
  rat = (float)i/(float)j;
  if goodRat(rat) 
      return rat;
}

但这有时只会起作用。我该如何解决这个问题？

Answer 1

有理数是 countable ，这意味着它们可以与整数一一对应。如果你这样做，那么你就会得到解决方案。

不是给出一对一的通信，而是通过以下方式更简单地了解理性：

构造一个（可数）无限的（可数）无限矩阵Q，以便Q_(i,j) = i/j i和j的范围从1到{{1} }}。矩阵看起来像这样：

infinity

当然，有很多重复（整个对角线都是1！），但我的目的是为了简化速度。

你要做的就是走下无限的列，这样你就会错过很多数字。相反，你应该走有限的反对角线。也就是说，按以下顺序获取元素

 1  1/2 1/3 1/4 1/5 . . .
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 . . .
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 . . . 
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 . . .
5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 . . .
 .   .   .   .   .
 .   .   .   .   .
 .   .   .   .   .

所以你会得到1 3 6 10 15 . 2 5 9 14 . . 4 8 13 . . . 7 12 . . . 11 . . . . . . . . .。此外，您知道在步骤1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, ...会遇到r/s，因此在有限时间内会遇到任何给定的有理数。

对此进行编码的一种方法是让(r+s)(r+s-1)/2 + s成为行索引（外部i循环）并让for成为列索引（内部j循环）。然后for的范围从i到1，但infinity的范围仅为j到1。

如果您的i功能需要相当长的时间，那么您可以先测试goodRat和i是互质的，如果没有跳过它们，也可以加快速度。

Answer 2

Stern–Brocot tree是一种系统地生成所有有理数而无需重复的方法。请参阅https://math.stackexchange.com/questions/7643/produce-an-explicit-bijection-between-rationals-and-naturals上的其他人。

Answer 3

首先，关于你的第一次尝试：

float rat;
for (int i=1 ; i ; ++i) {
    // the loop for the first won't be reached
  for (int j=1 ; j ; ++j) {
  // this loop will never end, it will either loop for ever or return something like (floag)1/(float)j
    rat = (float)i/(float)j;
    if goodRat(rat) then return rat;
  }
}

我的建议是，明确你的目的，也许你可以参考http://en.wikipedia.org/wiki/Stern-Brocot_tree

用财产找一个有理数

3 个答案: