Question

我正在解决一个引理，遇到一种情况，我必须证明次引理（true = false）。矛盾不起作用。我怎样才能实现这个目标？另一个引理，与上面大致相同，我必须证明sub_lemma 0 = S n。帮助我关闭这些虚假陈述。

Answer 1

幸运的是，除非您有证明错误的假设或假设，否则您实际上无法证明这些子引理。例如说我们有这个证明：

Import Nat.

Theorem impossible :
  0 = 1.
Proof. Admitted.

如您所见，我们首先尝试证明一些不可能的事情。 0不等于1，因此如果我们要继续解释器或编译器，则必须接受证明。相反，我们有证据表明出现是您的解决方案问题：

Theorem possible1 :
  False ->
  0 = 1.
Proof.
  intro H.
  exfalso.
  apply H.
Qed.

我们有相同的证明，但是我们首先假设False。 False是Prop（命题）类型的成员，这是Coq判断某项是否为True的核心。如果您可以将一组Prop评估为True状态，那么您就已经解决了证明（这大大简化了，我只是想把想法弄清楚）。但是，如果我们假设False为假设，则我们假设True的倒数为True。如果真是这样，那么现在应该证明可改善的一切都是可证明的。如果我们假设False，我们可以证明任何事情。不过，在第一个示例中，我们将0 = 1和False强制转换为exfalso。然后，由于H正是我们的目标，因此我们可以应用H（或使用assumption策略）。

Theorem possible2 :
  False ->
  0 = 1.
Proof.
  intro H.
  inversion H.
Qed.

反转是可以在此处使用的另一种有用策略。它还有许多其他有用的应用程序，但在假设False的前提下，它可以用作简化目标的捷径。如果您对错误的假设应用反演，则它可以有效地完成与possible1相同的任务，并为您完成目标。它认识到假设False意味着您可以证明一切。

最后，我们可以延迟部分证明：

Theorem delay:
  forall (n : nat),
  n = S n.
Proof.
  intros.
  induction n.
  - admit.
  - rewrite <- IHn.
    apply IHn.
  (* Can't prove base case *)
Admitted.

从impossible回想起我们必须使用Admitted关键字来结束证明。我们必须使用Admitted，因为不可能达到所有目标都满足的状态，因此我们不能使用Qed退出证明状态。但是，admit策略将使您将证明推迟到以后。如果您将目标看作是彼此堆叠在一起的两个单独任务，则可以使用admit将最下面的薄页移动到下面并转移到以后。但是，在退出证明或再次使用Admitted之前，您必须回到那个转移的子引理。编译器CoqC在用IDE证明定理方面不如IDE有用，因此，我强烈建议您使用它。（我当前的项目涉及Extraction，我认为它需要编译器，而IDE不支持。如果有人发表其他意见，我将删除此脚注）

Answer 2

存在三种可能性：（1）您的初始陈述已经不可证明，或者（2）您在证明中间进行了转弯，导致您转到了无法证明的新子目标；或者（3）您的目标中有多种假设是相互矛盾的，但是您和基本的contradiction策略都不认为这是矛盾的。要获得更多帮助，我们将需要进行完整的尝试。

如何解决陈述中的矛盾

2 个答案: