到矩形缓存的最短距离

Question

我有一个不必与轴平行的矩形列表。我还有一个与轴平行的主矩形 我需要一种算法，可以判断哪个矩形是最接近的点（该点必须在主矩形中）。在算法期间，矩形和主矩形列表不会发生变化，并且将被调用多个点，因此应创建一些数据结构以使查找更快。
需要明确的是：从矩形到点的距离是矩形中最近点到点之间的距离 可以使用什么算法/数据结构？内存在此上具有更高的优先级，n log n是正常的，但n ^ 2不是。

Answer 1

您应该能够使用带有O（n log n）预处理时间的Voronoi图和O（log n）时间查询来执行此操作。因为对象是矩形而不是点，所以单元可以是弯曲的。然而，Voronoi图应该可以正常工作。 （见http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram）

对于一个快速而肮脏的解决方案，您实际上可以在一天内工作，您可以做一些灵感来自局部敏感散列的东西。例如，如果矩形间隔很小，您可以将它们散列为具有几个不同偏移的方形桶，然后为每个查询检查落入包含查询点的少数桶之一的每个矩形。

Answer 2

您应该能够在O（n）时间和O（n）内存中执行此操作。

1. 计算每个矩形每条边上距离相关点的最近点。为此，请参阅此question中的详细答案。即使问题与多边形内部的一个点有关（而不是在它之外），这个算法仍然可以在这里应用。
2. 计算边缘上每个最近点之间的距离，并找到整个矩形（对于每个矩形）到相关点的最近点。有关详细信息，请参阅上面的链接。
3. 找出所有矩形之间的最小距离。与您的最小距离对应的矩形是赢家。

Answer 3

如果记忆比速度更有价值，请使用强力：对于给定的点S，计算从S到每个边缘的距离。选择距离最短的矩形。

此解决方案不需要额外的内存，而其执行时间为O（n）。

根据您的确切问题规范，如果允许矩形与主矩形重叠，则可能必须调整此解决方案。

Answer 4

如上所述，一个点与矩形之间的距离是通过该点的所有线的最小长度，该点与矩形的所有四个边垂直，并且所有线将该点与矩形的四个顶点之一连接。
（我的英语不擅长描述数学解决方案，所以我认为你应该更深入地思考我的解释） 对于每个矩形，您应该保存四个顶点和四个边缘函数，以便使用特定点快速计算它们之间的距离。