查找连接所有节点的最短路径集

Question

我在2D坐标空间中有一组点。

我想找到连接它们的路径总长度最短的一组路径。 （好的启发式解决方案，不需要很精确。）

这听起来像是旅行商的问题，但这是不同的。我不是在寻找一个将访问每个点一次且只有一次的循环。我只需要将每个点连接到至少一个其他点，以使集合中的所有点至少间接地彼此连接，并使所选连接的长度之和最小即可。因此，应尽量减少连接长度的总和。

简单的最近邻居算法（即，将每个点连接到尚未与其连接的最近邻居）不起作用，因为彼此相距较远的小群集最终将被隔离，并且您将永远结束创造周期。

Answer 1

如果我正确理解了您的问题，那么您正在寻找的是最小生成树（通常简称为MST）。 MST只是

的一部分路径

• （a）连接所有点，
• （b）这样做的总长度尽可能短，并且
• （c）没有循环。

可以找到MST的几种著名算法，例如Prim算法和Kruskal算法-我将带您逐步了解Kruskal算法，我个人认为这是最直观的。如果有兴趣，您应该可以在线或在算法教科书中找到其他算法。

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Kruskal首先按长度对各个路径进行排序。使用该列表，我们可以通过重复以下过程直到所有点/顶点都包含在树中来创建MST：

1. 考虑列表中的最短路径。
   • 如果它将在您的MST中创建一个循环，请不要将其添加到树中（只需将其从列表中删除）。
   • 否则，将其添加到树中（并将其从列表中删除）。

最终，您将得到一棵

• （a）连接所有点-由于已考虑到每条路径，因此必须保证，符合MST资格的每个顶点都必须在一条路径上，并且添加一条路径以到达先前未连接的顶点不能创建循环；
• （b）具有尽可能短的总长度，这是有保证的，因为路径是按长度递增的顺序添加的；和
• （c）没有循环-可以保证，因为算法明确避免了这种情况。

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注意：

（1）在处理MST（和其他图形问题）时，我们经常用特定的名称来称呼零件：点的集合是“图形”，特定的点或节点是“顶点”，顶点之间的路径是“边缘”和边缘的长度是“权重”。

（2）Kruskal算法的运行时间为O（ElogV），其中E是路径/边的数量，V是点/顶点的数量。

（3）如果图形中有任何顶点或一组顶点与其余数据集断开连接，则最终将在“ MST林”中出现多个MST。

（4）一个图可以具有多个MST；例如在this graph中，MST的最小长度为6，这是通过以下两个MST来实现的：MST1，MST2

（5）确定添加路径是否会创建循环实际上很棘手；一种实现方法是使用UnionFind数据结构，您可以使用here进行操作。

Answer 2

您描述的问题听起来像克鲁斯卡尔算法：

Kruskal算法是一种最小生成树算法，可以发现 最小重量的边缘，用于连接任意两棵树 它是图论中的贪婪算法，因为它发现了一个森林 连接加权图的最小生成树增加 每一步的成本都很高。这意味着它将找到边缘的子集 形成一棵包括每个顶点的树，总重量 树中所有边缘的最小化。如果图形不是 连接，然后找到最小跨度林（最小跨度 每个已连接组件的树）。

Kruskal时间复杂度最坏的情况是O（E log E），这是因为我们需要对边进行排序。原始时间复杂度最差的情况是带有优先级队列的O（E log V）甚至更好，带有Fibonacci堆的O（E + V log V）。当图稀疏时，即边缘已经被排序或者我们可以在线性时间内对其进行排序时，应使用Kruskal，即图的边缘数量少，例如E = O（V）。当图密集时，即边数很多时，例如E = O（V²）

Answer 3

就像其他人指出的那样，您需要投标一个MST。但是，如果要从所有对点（MST的潜在边）中进行选择，则最终需要处理大量边，这会耗尽运行时间和内存。

从任何一点开始，将其连接到最接近的邻居（不会创建周期），然后重复此步骤，直到所有内容都连接起来，这样可能会更快。

这是构建最小生成树的另一种较不常见的方法，该树在您的应用程序中应该更快。

如果您愿意，我可以（尝试）证明我刚刚提出的算法。

如果针对您的问题找到不同的解决方案，请注意，MST不一定是唯一的，可能会有多个最佳解决方案。