不同的组合算法（Candy Splitting）

Question

昨天我参加了谷歌密码竞赛。有糖果分裂的问题。 http://code.google.com/codejam/contest/dashboard?c=975485#s=p2

我设计了一种算法，它基本上尝试了帕特里克桩和肖恩桩的所有不同组合，检查它们是否具有相同的帕特里克值，并最终选择最大化肖恩份额的组合。该算法适用于小型输入文件。对于大的，我遇到了内存问题，输出从未出现过。我相信这个问题的另一种方法是不需要考虑所有组合。有人可以帮忙吗？

Answer 1

对于小输入，糖果的数量很少（最多15个）。搜索所有可能的情况将包括2 ^ 15 = 32768种可能性，可以在一毫秒左右的时间内检查。但是，对于多达1000个糖果（大输入），可能组合的数量达到2 ^ 1000 = 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376。现在这个数字有点太大了，即使你运行这个程序几年，你也不会得到结果。

有一些观察结果有助于为此制定有效的计划：

• 像@Protostome所指出的那样，Patrick的总和实际上是一个xor操作。
• 再次像@Protostome所指出的那样，如果它是可以解决的，那么所有糖果的xor都是0.原因是：如果两个分区中可能有相同的xor总和，那么取两者的xor分区将为a xor a = 0。
• 如果可以分区，那么所有糖果的xor总和为0.但是，如果我们从整个糖果组中移除一个糖果，它就变为非零。特别是，

   c1 xor c2 xor ... xor ci-1 xor ci xor ci+1 xor ... xor cn = 0
=> c1 xor c2 xor ... xor ci-1     xor    ci+1 xor ... xor cn = ci

也就是说，我们可以通过从整个集合中取出一个糖果来将该集合划分为两个。为了最大化左半部分的算术总和，我们必须采用最低值的糖果。因此，较高堆中糖果的算术总和是所有糖果的总和 - 最低值！

因此，我们有：

1. 如果所有糖果的xor为零，则可以解决
2. 如果可以解决，则sum是整个列表的总和 - 最低值。