从给定数字中，确定其产品为原始数字的三个紧密数字

时间：2011-05-05 19:47:29

标签： algorithm math language-agnostic numbers

我有一个号码n，我希望找到三个号码，其产品为n，但尽可能彼此接近。也就是说，如果n = 12那么我希望得到3,2,2，而不是6,1,2。

另一种想到它的方法是，如果n是长方体的体积，那么我想找到两边的长度，以便使长方体尽可能像立方体一样（也就是说，长度尽可能相似）。这些数字必须是整数。

我知道不太可能有一个完美的解决方案，而且我很乐意使用能够在大多数时候给出一个好答案的东西，但是我想不出去想出这个算法。有什么想法吗？

5 个答案:

答案 0 :(得分：11)

这是我的第一个算法草图，授予n相对较小：

  • 计算n的{​​{3}}。
  • 选出最大的三个，并将其分配给f1，f2，f3。如果少于三个因素，请指定1。
  • 以递减顺序循环剩余因子 ，将它们乘以当前最小的分区。

修改的

我们来看n=60。

其主要因素是5 3 2 2。

设置f1=5，f2=3和f3=2。

剩余的2乘以f3，因为它是最小的。

我们最终得到5 * 4 * 3 = 60。

修改的

此算法无法找到最佳通知prime factors注释：

  

考虑17550 = 2 * 3 * 3 * 3 * 5 * 5   * 13.当最佳值为25,26,27时，您的算法将给出15,30,39。

修改的

好的，这是我的第二个算法草图，启发式稍微好一些：

  • 将列表L设置为n的{​​{3}}。
  • 将r设置为n的{​​{3}}。
  • 创建一组三个因素F，最初设置为1。
  • 按降序排列素因子：
    • 尝试将当前因子L[i]与每个因子相乘，然后按降序排列。
      • 如果结果小于r，请执行乘法并继续前进到下一个 主要因素。
      • 如果没有，请尝试下一个F。如果超出F s，则乘以最小值。

这适用于17550：

的情况 
n=17550
L=13,5,5,3,3,3,2
r=25.98

F = { 1, 1, 1 }

迭代1：

  • F[0] * 13小于r，将F设为{13,1,1}。

迭代2：

  • F[0] * 5 = 65比r更受欢迎。
  • F[1] * 5 = 5小于r，将F设为{13,5,1}。

迭代3：

  • F[0] * 5 = 65比r更受欢迎。
  • F[1] * 5 = 25小于r，将F设为{13,25,1}。

迭代4：

  • F[0] * 3 = 39比r更受欢迎。
  • F[1] * 3 = 75比r更受欢迎。
  • F[2] * 3 = 3小于r，将F设为{13,25,3}。

迭代5：

  • F[0] * 3 = 39比r更受欢迎。
  • F[1] * 3 = 75比r更受欢迎。
  • F[2] * 3 = 9小于r，将F设为{13,25,9}。

迭代6：

  • F[0] * 3 = 39比r更受欢迎。
  • F[1] * 3 = 75比r更受欢迎。
  • F[2] * 3 = 27大于r，但它是我们可以获得的最小F.将F设为{13,25,27}。

迭代7：

  • F[0] * 2 = 26比r更受欢迎，但它是我们能得到的最小的F.将F设为{26,25,27}。

答案 1 :(得分：3)

这是一种纯粹基于数学的方法，它返回最佳解决方案，不涉及任何类型的排序。天啊，它甚至不需要素数因素。

背景：

1）回想一下多项式

enter image description here

根的总和和乘积由

给出

enter image description here

其中x_i是根。

2）回顾优化理论的另一个基本结果：

enter image description here

，即给定两个变量使得它们的乘积是常数，当两个变量彼此相等时，总和是最小的。波浪变量表示最佳值。

这样做的必然结果是，如果产品是常数的两个变量的总和是最小的，那么这两个变量就彼此相等。

重新制定原始问题：

现在可以将上述问题重新表述为多项式根寻找练习。我们将构造一个满足条件的多项式，并且该多项式的根将是你的答案。如果您需要k个最佳数字，则您将获得度k的多项式。在这种情况下，我们可以用三次方程来讨论

enter image description here

我们知道：

  1. c是输入数字的负数（假设为正数）
  2. a是一个整数且为负（因为因子都是正数）
  3. b是一个整数（它是一次取两个根的总和）并且是正数。
  4. p的根源必须是真实的（并且是积极的，但这已经得到了解决）。

    5. 要解决这个问题，我们只需要根据上述条件最大化a。目前尚未明确知道的唯一部分是条件4，我们可以使用discriminant of the polynomial轻松强制执行。

    对于三次多项式p，判别式为

    enter image description here

    和p如果∆>0具有真实且不同的根，并且∆=0具有真实和重合（两个或全部三个）。因此，约束4现在读取∆>=0。现在这很简单，也很容易编程。

    Mathematica中的解决方案

    这是Mathematica中实现此目的的解决方案。

    这是对其他答案/评论中使用的一些数字的测试。

    enter image description here

    左侧的列是列表，右侧列中的相应行给出了最佳解决方案。

    注意：

      

    我只是注意到OP从来没有提到3个数字需要是整数，尽管每个人（包括我自己直到现在）都认为他们是（可能是因为他的第一个例子）。重新阅读问题，并通过立方体示例，似乎OP不是整数。

         

    这是一个重要的观点，它将决定追求和需要定义哪类算法。如果它们不必是整数，则可以提供几种基于多项式的解，其中一种是我的（在放宽整数约束之后）。如果它们应该是整数，那么使用分支-n-bound / branch-n-cut /切割平面的方法可能更合适。

    以下是假设OP意味着三个数字是整数。

    我现在实现它的方式，在某些情况下它可以提供非整数解决方案。

    enter image description here

    这为x提供非整数解决方案的原因是因为我只实现了最大化a，实际上，b也需要最小化（不仅如此，还因为我没有对x_i整数设置约束。可以使用整数根定理，这将涉及找到素数因子，但会使事情变得更复杂。）< / p>

    文本中的Mathematica代码 

    Clear[poly, disc, f]
poly = x^3 + a x^2 + b x + c;
disc = Discriminant[poly, x];
f[n_Integer] := 
 Module[{p, \[CapitalDelta] = disc /. c -> -n}, 
  p = poly /. 
     Maximize[{a, \[CapitalDelta] >= 0, 
        b > 0 && a < 0 && {a, b} \[Element] Integers}, {a, b}][[
      2]] /. c -> -n;
  Solve[p == 0]
  ]

答案 2 :(得分：2)

正如Anders Lindahl所追求的，可能有一种聪明的方法可以找到最紧密的三重奏，但我会专注于一种更基本的方法。

如果我生成所有三元组，那么我可以随后过滤它们，但我会从那里开始。我知道生成这些的最好方法是使用递归：

f[n_, 1] := {{n}}

f[n_, k_] := Join @@
    Table[
      {q, ##} & @@@ Select[f[n/q, k - 1], #[[1]] >= q &],
      {q, #[[2 ;; ⌈ Length@#/k ⌉ ]] & @ Divisors @ n}
    ]

此函数f采用两个整数参数，即n因子的数量，以及生成k的因子数。

#[[2 ;; ⌈ Length@#/k ⌉ ]] & @ Divisors @ n部分使用Divisors生成n（包括1）的所有除数的列表，然后从第二个中取出这些除数（删除1）除数除以k的天花板。

例如，对于{n = 240, k = 3}，输出为{2, 3, 4, 5, 6, 8}

Table命令在累积结果时迭代此列表，将每个元素分配给q。

Table的正文为Select[f[n/q, k - 1], #[[1]] >= q &]。这会递归调用f，然后从结果中选择以数字>= q开头的所有列表。

{q, ##} & @@@（也在正文中）然后将q“预先添加”到每个选定的列表中。

最后，Join @@合并了每个Table循环生成的所选列表的列表。

结果是n到k部分的所有整数因子，按字典顺序排列。例如：

In[]:= f[240, 3]

Out[]= {{2, 2, 60}, {2, 3, 40}, {2, 4, 30}, {2, 5, 24}, {2, 6, 20},
        {2, 8, 15}, {2, 10, 12}, {3, 4, 20}, {3, 5, 16}, {3, 8, 10},
        {4, 4, 15}, {4, 5, 12}, {4, 6, 10}, {5, 6, 8}}

使用上面给出的函数/算法的输出，然后可以测试三元组的质量，无论如何。

请注意，由于排序，输出中的最后一个三元组是具有最小因子的最大三元组。这通常是结果中最“立方”的，但偶尔也不是。

如果必须找到真正的最佳值，那么从列表的右侧开始测试是有意义的，如果没有快速找到更好的结果则放弃搜索，因为当您向左移动时结果的质量会降低。 / p>

显然这个方法依赖于快速Divisors函数，但我认为这是一个标准的库函数，或者你可以在StackOverflow上找到一个很好的实现。有了这个，这应该是非常快的。上面的代码在我的机器上找到了1.2秒内n为1到10,000的所有三元组。

答案 3 :(得分：1)

修改 以下是使用更高效代码的简短解释，KSetPartitions大大简化了事情。那么Mr.W.的一些建议也是如此。整体逻辑保持不变。

假设 n 至少有3个素因子，

  1. 查找 n 的素因子的三元组KSetPartitions列表。
  2. 将每个子集中的每个元素（素数因子）相乘以产生 n 的三个除数的所有可能组合（当它们相乘时，它们产生 n ）。您可以将除数视为正交平行六面体的长度，宽度和高度。
  3. 最接近立方体的平行六面体将具有最短的空间对角线。对每种情况求和三个除数的平方并选择最小的除数。

    4. 以下是Mathematica中的代码：

    Needs["Combinatorica`"]
g[n_] := Module[{factors = Join @@ ConstantArray @@@ FactorInteger[n]},
  Sort[Union[Sort /@ Apply[Times, Union[Sort /@ 
      KSetPartitions[factors, 3]], {2}]] 
      /. {a_Integer, b_Integer, c_Integer} :>  
           {Total[Power[{a, b, c}, 2]], {a, b, c}}][[1, 2]]]

    它可以处理相当大的数字，但随着n的因子数量的增加而显着减慢。以下示例显示240,2400，...... 24000000的时间。 通过考虑一个主要因子在除数中出现不止一次的情况，原则上可以加快这一点。我还没有专业知识。

    In[28]:= g[240]

Out[28]= {5, 6, 8}

In[27]:= t = Table[Timing[g[24*10^n]][[1]], {n, 6}]

Out[27]= {0.001868, 0.012734, 0.102968, 1.02469, 10.4816, 105.444}

答案 4 :(得分：1)

不应重新发明轮子，而应将其视为众所周知的 NP-complete 问题的变体。

  • 计算n。
    • 的主要因素
  • 计算这些因素的对数
  • 问题转化为将这些日志划分为三个尽可能接近的总和。
  • 此问题被称为 Bin Packing 问题的变体，称为 Multiprocessor scheduling

鉴于多处理器调度问题是NP完全的，难怪找到一个不搜索整个问题空间并找到最佳解决方案的算法很难。

但我想已经有几种算法可以处理Bin-Packing或Multiprocessor-Scheduling，并以有效的方式找到接近最优的解决方案。

另一个相关问题（概括）是 Job shop scheduling 。请参阅维基百科描述，其中包含许多已知算法的链接。

维基百科描述为 （经常使用的LPT算法（最长处理时间） ）正是Anders Lindahl首先提出的。

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