Question

我在理解Leet代码中的“快乐数字”问题的一种解决方案的时间复杂度分析时遇到一些困难，由于对复杂度分析的怀疑，我将其粗体显示，并非常感谢您的建议

这是问题：

链接：https://leetcode.com/problems/happy-number/

问题：

编写一种算法来确定数字是否“幸福”。一个快乐的数字是由以下过程定义的数字：从任何正整数开始，用该数字的平方和代替该数字，然后重复该过程，直到该数字等于1（它将停留在该位置），否则它就会循环在不包含1的循环中无休止地进行下去。此过程以1结尾的数字是快乐数字。

示例：

输入：19

输出：true

说明：

1 ^ 2（1的平方）+ 9 ^ 2 = 82

8 ^ 2 + 2 ^ 2 = 68

6 ^ 2 + 8 ^ 2 = 100

1 ^ 2 + 0 ^ 2 + 0 ^ 2 = 1

代码如下：

class Solution(object):
    def isHappy(self, n):
        #getnext function will compute the sum of square of each digit of n
        def getnext(n):
            totalsum = 0
            while n>0:
                n,v = divmod(n,10)
                totalsum+=v**2
            return totalsum
        #we declare seen as a set to track the number we already visited
        seen = set()
        #we stop checking if: either the number reaches one or the number was visited #already(ex.a cycle)
        while n!=1 and (n not in seen):
            seen.add(n)
            n = getnext(n)
        return n==1

注意：如果需要解释代码的工作原理，请随时告诉我

时间复杂度分析：

时间复杂度：O（243 * 3 + logN + loglogN + log loglog N）... = O（logN）。

查找给定数字的下一个值的成本为O（log n），因为我们正在处理数字中的每个数字，并且数字中的数字位数由logN给出。 我的疑问：为什么数字中的位数由logN给出？这里的N是什么？特定数字或其他值的值？

要计算总时间复杂度，我们需要仔细考虑链中有多少个数字，以及它们有多大。

我们在上面确定，一旦数字低于243，就不可能再回到243以上。因此，基于我们的浅层分析，我们可以确定一旦数字低于243，就不可能终止操作还需要243多个步骤。

每个数字最多包含3位数字。经过更多的分析，我们可以将最长的数字链的长度替换为243，并将其替换为243以下的最长数字链的长度，但是由于常量无论如何都不重要，因此我们无需担心。 我的疑问：我认为上一段与243 * 3的时间复杂度成分有关，但我不明白为什么我们将243乘以3

对于大于243的n，我们需要考虑链中大于243的每个数字的成本。通过一点数学运算，我们可以证明在最坏的情况下，这些成本为O（log n）+ O（log log n）+ O（log log log N）...对我们来说幸运的是，O（logN）是主要部分，而其他所有参数相比而言都是很小的（总的来说，它们的总和小于logN），因此我们可以忽略它们。 我的疑问：对于大于243的n，O（log log n）O（log log log N）背后的原因是什么？

Answer 1

好吧，我对第一个疑问的猜测是，以10为底的数字的位数是由它的值（N）取为以10为底的对数的整数。因此，例如1023将有floor(log10(1023))位数字，即3。所以，是的，N是数字的值。时间复杂度上的log表示对数，而不是对数2或e的对数。

关于第二个疑问，这可能与将数字减少到243以下所需的工作有关，但是我不确定。一旦完成工作，我将编辑此答案。

Answer 2

假设N有M位数字。比getnext(N) <= 81*M。当N仅具有9时，将发生平等。

当N < 1000时，即最多3位，getnext(N) <= 3*81 = 243。现在，您最多只能拨打getnext(.)次O(243)来确定N是否确实很开心。
如果为M > 3，则getnext(N)的位数必须小于M。尝试使用getnext(9999)，getnext(99999)等[1]。

注释：

[1]在N上添加一个数字最多可以使其10*N + 9，即在末尾添加9。但是位数只会增加到M+1。这是N和M之间的对数关系。因此，N和81*M之间保持着相同的关系。

如何从Leetcode理解快乐数问题解决方案的时间复杂性

2 个答案: