如何在八面体内生成随机点而不丢弃？

Question

我需要八面体内随机分布的点。我将八面体定​​义为所有点都满足abs(x) + abs(y) + abs(z) <= 1的体积，其中abs给出绝对值。 IE：六个顶点中的每个顶点都在一个轴上，距0,0,0的距离为1。也许您可以将其称为单位八面体。

牢记定义，我可以像这样天真的产生一个点：

val x: Double = nextDouble() // 0-1 range
val y = nextDouble(1.0 -x) // 1-x is upper bound, probably <1
val z = nextDouble(1.0 -(x+y))

问题在于，这倾向于较小的y值和较小的z值。显然分布不均。同样清楚的是，所有这些点仅在八个象限之一中。

我正在避免使用 discard方法，因为该函数将被大量调用，而且看来我应该比丢掉大多数分数更好。

请注意，dual of the octahedron是多维数据集。因此，我暗示可能存在一个简单的函数，可以将立方体中的任何点转换为八面体，但这只是我一直在探索的一种直觉。

Answer 1

这里是想法-从D + 1中的Dirichlet distribution采样点，选择D点，以使您在单形中是统一的

x ₀ + x ₁ + x ₂ <= 1，x _i > = 0

要制成八面体，请随机选择八角形以表示观点。

Python代码

import math
import random

def Dirichlet():
    """sample 4d Dirichlet"""
    x0 = -math.log(1.0 - random.random()) # exponential
    x1 = -math.log(1.0 - random.random()) # exponential
    x2 = -math.log(1.0 - random.random()) # exponential
    x3 = -math.log(1.0 - random.random()) # exponential
    s = 1.0/(x0+x1+x2+x3) # scaling

    return (x0*s, x1*s, x2*s, x3*s)

def OctahedronSampling():

    x0, x1, x2, _ = Dirichlet()

    octant = random.randint(0, 7)

    if octant == 0:
        return (x0, x1, x2)
    elif octant == 1:
        return (x0, -x1, x2)
    elif octant == 2:
        return (x0, x1, -x2)
    elif octant == 3:
        return (x0, -x1, -x2)
    elif octant == 4:
        return (-x0, x1, x2)
    elif octant == 5:
        return (-x0, -x1, x2)
    elif octant == 6:
        return (-x0, x1, -x2)
    elif octant == 7:
        return (-x0, -x1, -x2)

    return None

for _ in range(0, 2000):
    x0, x1, x2 = OctahedronSampling()

    print(f"{x0}   {x1}   {x2}")

这是2K点的快速图形

Answer 2

编辑：如@Tonci所述，三个统一随机变量的和不是统一随机变量。实际上，对于a,b,c,d，接近0的概率约为接近1（或接近-1）的概率的1.5倍。因此，下面的答案只是一个近似值。我把它留在这里，因为它也许可以给人正确的灵感。

八面体由8个定界平面定义。这些平面的方程式是abs(x) + abs(y) + abs(z) <= 1的概括，其中abs每次可以为正或负。所以：

x + y + z <= 1; x + y - z <= 1; x - y + z <= 1; x - y - z <= 1;
-x + y + z <= 1; -x + y - z <= 1; -x - y + z <= 1; -x - y - z <= 1

结合相反的平面方程：

-1 <= x + y + z <= 1; -1 <= x + y - z <= 1; -1 <= x - y + z <= 1; -1 <= x - y - z <= 1

现在，为以下每个表达式选择值：

x + y + z = a; x - y + z = b; x - y - z = c; x + y - z = d

或者对于八面体中的每个随机x，y，z，我们有4个值：

-1 <= a <= 1; -1 <= b <= 1; -1 <= c <= 1; -1 <= d <= 1

相反，如果我们有a，b，c，d的值，我们可以找到对应的x，y，z。这些方程是线性相关的，随机选择a，b，c，d中的3个，我们可以计算出第四个，也可以计算出x，y，z。

因此，我们在三个方向上选择随机数a，b，c，都在-1和1之间：

• x + y + z = a
• x - y + z = b
• x - y - z = c

求解x，y，z：x: a/2 + c/2, y: a/2 - b/2, z: b/2 - c/2。

在代码中：

val a: Double = 2*nextDouble()-1  // range -1..1
val b: Double = 2*nextDouble()-1  // range -1..1
val c: Double = 2*nextDouble()-1  // range -1..1
val x: Double = (a+c) / 2
val y: Double = (a-b) / 2
val z: Double = (b-c) / 2

或者更少的操作：

val a: Double = nextDouble()  // range 0..1
val b: Double = nextDouble()  // range 0..1
val c: Double = nextDouble()  // range 0..1
val x: Double = a+c-1
val y: Double = a-b
val z: Double = b-c

Answer 3

您知道如何在具有均匀分布的多维数据集中选择点，并且可以将多维数据集分解为八个方形金字塔。 （抱歉，我无法提供图形。）

我将从一个多维数据集开始：abs(x) <= 1; abs(y) <= 1; abs(z) <= 1

在其中选取一个点（列向量(x, y, z)），然后进行反射以将其带入“顶部和底部”金字塔：

if abs(x) > abs(z), swap x and z. Equivalently, multiply by

0 0 1
0 1 0
1 0 0

if abs(y) > abs(z), swap y and z. Equivalently, multiply by 

1 0 0
0 0 1
0 1 0

然后将两个金字塔颠倒成一个八面体：

if z>0
 z = 1-z

if z<0
 z = -1-z

然后旋转并缩放：

multiply by

1/2 -1/2  0
1/2  1/2  0
  0    0  1