Question

我最近遇到this fluid dynamics simulation，并一直在尝试阅读格子Boltzmann方法，以便更好地理解它。大部分代码都很透明，因此在阅读代码和阅读Wikipedia之间，我几乎已经知道了所有功能...除了核心``碰撞''函数中的运动学计算之外。

我已经弄清楚1 / 9、4 / 9和1/36的因子与沿着不同晶格方向连接细胞中心的向量的长度有关，我什至可以找到解释用于不同晶格类型的哪些不同因素（此代码中使用D2Q9晶格）。但是，我找不到任何能解释您如何从定义Lattice Boltzmann Algorithm的碰撞步骤的通用矢量方程到下面显示的特定9行实现算法的方法。特别是那些3、1.5和4.5的因子是哪里来的？

在链接的网页中使用的代码（进行少量编辑以删除自由变量并提高可读性）如下：

function collide(viscosity) { // kinematic viscosity coefficient in natural units
  var omega = 1 / (3*viscosity + 0.5); // reciprocal of relaxation time
  for (var y=1; y<ydim-1; y++) {
    for (var x=1; x<xdim-1; x++) {
      var i = x + y*xdim; // array index for this lattice site
      var thisrho = n0[i]+nN[i]+nS[i]+nE[i]+nW[i]+nNW[i]+nNE[i]+nSW[i]+nSE[i];

      // macroscopic horizontal velocity
      var thisux = (nE[i]+nNE[i]+nSE[i]-nW[i]-nNW[i]-nSW[i])/thisrho;

      // macroscopic vertical velocity
      var thisuy = (nN[i]+nNE[i]+nNW[i]-nS[i]-nSE[i]-nSW[i])/thisrho;

      var one9thrho = thisrho / 9;
      var one36thrho = thisrho / 36;
      var ux3 = 3 * thisux;
      var uy3 = 3 * thisuy;
      var ux2 = thisux * thisux;
      var uy2 = thisuy * thisuy;
      var uxuy2 = 2 * thisux * thisuy;
      var u2 = ux2 + uy2;
      var u215 = 1.5 * u2;

      n0[i]  += omega * (4/9*thisrho * (1                              - u215) - n0[i]);
      nE[i]  += omega * (  one9thrho * (1 + ux3       + 4.5*ux2        - u215) - nE[i]);
      nW[i]  += omega * (  one9thrho * (1 - ux3       + 4.5*ux2        - u215) - nW[i]);
      nN[i]  += omega * (  one9thrho * (1 + uy3       + 4.5*uy2        - u215) - nN[i]);
      nS[i]  += omega * (  one9thrho * (1 - uy3       + 4.5*uy2        - u215) - nS[i]);
      nNE[i] += omega * ( one36thrho * (1 + ux3 + uy3 + 4.5*(u2+uxuy2) - u215) - nNE[i]);
      nSE[i] += omega * ( one36thrho * (1 + ux3 - uy3 + 4.5*(u2-uxuy2) - u215) - nSE[i]);
      nNW[i] += omega * ( one36thrho * (1 - ux3 + uy3 + 4.5*(u2-uxuy2) - u215) - nNW[i]);
      nSW[i] += omega * ( one36thrho * (1 - ux3 - uy3 + 4.5*(u2+uxuy2) - u215) - nSW[i]);
    }
  }
}

Answer 1

代码（似乎用C＃编写）从通过强制实施一定的雷诺数Re：= U L / nu设置的粘度计算弛豫频率ω开始。（通常，这是一个常数，因此也可以预先计算，而不是在每个循环中都可以。）

var omega = 1 / (3*viscosity + 0.5);

然后代码在整个域中循环，而忽略了每个方向的第一个和最后一个节点，这将是边界条件，将由不同的函数来处理。

for (var y=1; y<ydim-1; y++) {
   for (var x=1; x<xdim-1; x++) {`

对于种群的存储，每个晶格方向都依赖于全局1D阵列 \ alpha，因此转向线性索引选择正确的节点。在这种情况下，其余节点的方向命名为0，其他人口根据相应的方向（北，东等）命名。通常，代码使用编号约定代替。

var i = x + y*xdim;

它会使用线性索引读取总体，并将其累加以获得密度（零阶动量）。

var thisrho = n0[i]+nN[i]+nS[i]+nE[i]+nW[i]+nNW[i]+nNE[i]+nSW[i]+nSE[i];

然后，它通过为当前晶格强制执行一阶动量\ rho * u_i = \ sum_ \ alpha e_ {i \ alpha} f_ \ alpha来确定速度。在这种情况下，x指向水平方向（东西西），y指向垂直方向（南北方），其中东和北是正方向。这意味着\ alpha = {北，东北，西北，南部，东南，西南}。

var thisux = (nE[i]+nNE[i]+nSE[i]-nW[i]-nNW[i]-nSW[i])/thisrho;

var thisuy = (nN[i]+nNE[i]+nNW[i]-nS[i]-nSE[i]-nSW[i])/thisrho;

然后声明几个变量，将在下一部分中重新使用：one9thrho和one36thrho是水平/垂直和对角线的权重和密度的组合人口。令人困惑的是，ux3表示3 * ux，而ux2则表示ux ^ 2。

var one9thrho = thisrho / 9;
var one36thrho = thisrho / 36;
var ux3 = 3 * thisux;
var uy3 = 3 * thisuy;
var ux2 = thisux * thisux;
var uy2 = thisuy * thisuy;
var uxuy2 = 2 * thisux * thisuy;
var u2 = ux2 + uy2;
var u215 = 1.5 * u2;

最后一步处理冲突 f_ \ alpha ^ t（其中t表示临时内容，因为它将随后进行流传输）= f_ \ alpha + \ omega *（f_ \ alpha ^ {eq}-f_ \ alpha）。每条线负责一个离散方向\ alpha，因此向量方程式只需输入一次。注意：
- 在这种情况下，f_ \ alpha ^ t再次存储在f_ \ alpha中，因此足以将 increment （+ =）f_ \ alpha（数组nNWSE）增加\ omega *（f_ \ alpha ^ {eq}-f_ \ alpha）。方括号中的第一项是均衡函数，而最后一项对应于当前的f_ \ alpha。
- 不可压缩的平衡函数由f_ \ alpha ^ {eq} = w_ \ alpha \ rho（1 + e_ {i \ alpha} u_i / c_s ^ 2 +（e_i \ alpha u_i）^ 2 /给出（2 c_s ^ 4）-u_i ^ 2 /（2 c_s ^ 2）），其中我们必须对包含索引i的所有项求和两次。声音c_s的晶格速度由1 / \ sqrt（3）* dx / dx给出，因此f_ \ alpha ^ {eq} = w_ \ alpha \ rho（1 + 3 e_ {i \ alpha} u_i + 4.5（e_i \ alpha u_i）^ 2-1.5 u_i ^ 2）。术语one9thrho和one36thrho对应于方括号之前的术语。 ux3和uy3的总和对应于括号3 e_ {i \ alpha}中的第二项。倒数第二个项4.5（e_i \ alpha u_i）^ 2对应于水平或垂直方向的4.5 u_x ^ 2或4.5 u_y ^ 2，并且对应于对角线方向的4.5（+ -u_x +-uy）^ 2作为两个分量存在，因此导致4.5（u_x ^ 2 + u_y ^ 2 +-u_x u_y）。当相减时，u215 = 1.5 * u2 = 1.5 *（ux + uy）对应于最后一项。您将必须考虑方向i上晶格速度\ vec e_ \ alpha的相应速度投影e_ {i \ alpha}是0还是+ -1。后迹象负责

n0[i]  += omega * (4/9*thisrho * (1                              - u215) - n0[i]);
nE[i]  += omega * (  one9thrho * (1 + ux3       + 4.5*ux2        - u215) - nE[i]);
nW[i]  += omega * (  one9thrho * (1 - ux3       + 4.5*ux2        - u215) - nW[i]);
nN[i]  += omega * (  one9thrho * (1 + uy3       + 4.5*uy2        - u215) - nN[i]);
nS[i]  += omega * (  one9thrho * (1 - uy3       + 4.5*uy2        - u215) - nS[i]);
nNE[i] += omega * ( one36thrho * (1 + ux3 + uy3 + 4.5*(u2+uxuy2) - u215) - nNE[i]);
nSE[i] += omega * ( one36thrho * (1 + ux3 - uy3 + 4.5*(u2-uxuy2) - u215) - nSE[i]);
nNW[i] += omega * ( one36thrho * (1 - ux3 + uy3 + 4.5*(u2-uxuy2) - u215) - nNW[i]);
nSW[i] += omega * ( one36thrho * (1 - ux3 - uy3 + 4.5*(u2+uxuy2) - u215) - nSW[i]);

像这样的代码不太可能非常有效。为了加快代码的速度，您应该对f_ \ alpha和f_ \ alpha ^ t使用两个数组，并一步一步地执行碰撞和流传输，而不是两步。另外，可以通过组合omega和oneXXthrho进一步重写平衡函数，以重新计算尽可能少的项，并进一步重写二次项。有关更好的书面代码，请参考code that accompanies "The Lattice Boltzmann Method: Principles and Practice"。这应该已经将性能至少提高了两倍。为了在您的机器上模拟3D，您将必须应用多个more difficult optimisations。此外，还有针对该主题的更好的论坛，例如Palabos（日内瓦大学）和OpenLB（卡尔斯鲁厄技术学院）。

晶格玻尔兹曼模拟中的幻数解释？

1 个答案: